1. Meia-vida de uma substância radioativa é o tempo gasto para 50 \% de amostra da substância se deteriorar. Considere que a quantidade remanescente de uma certa substância radioativa, após t anos, é dada por Q(t)=Q_{0} e^{-0.003 t}. Calcule a meia-vida da substância.
Sendo Q(t)=Q_{0} e^{-0.003 t} encontraremos o tempo de meia vida substituindo Q(t) por \frac{Q_{0}}{2} e encontrando o tempo correspondente.
\begin{gathered} Q(t)=Q_{0} e^{-0.003 t} \\\ \frac{Q_{0}}{2}=Q_{0} e^{-0.003 t} \\\\ 0.5=e^{-0.003 t} \\\ t=-\frac{\ln 0.5}{0.003}=231.05 \text { anos } \end{gathered}

Passo 1

O enunciado quer a meia-vida, isto é, o tempo t para 50\% da amostra desaparecer, dado o modelo de decaimento
Q(t)=Q_{0}e^{-0,003\,t}.
Para achar esse t, basta impor Q(t)=\tfrac{Q_{0}}{2} e resolver a equação exponencial.

Passo 2

Substituímos Q(t)=\tfrac{Q_{0}}{2} no modelo e simplificamos:
\frac{Q_{0}}{2}=Q_{0}e^{-0,003\,t}
Dividindo ambos os lados por Q_{0}:
0,5=e^{-0,003\,t}.

Passo 3

Aplicamos o logaritmo natural para isolar t:
\ln(0,5)=-0,003\,t
Logo,
t=-\frac{\ln(0,5)}{0,003}.

Passo 4

Calculando numericamente, lembrando que \ln(0,5)=-\ln(2)\approx -0,6931:
t\approx -\frac{-0,6931}{0,003}\approx 231,05\text{ anos}.

Resposta

A meia-vida da substância é aproximadamente 231,05 anos.

Exercícios relacionados