5- Um radioisótopo, para ser adequado para fins terapêuticos, deve possuir algumas qualidades, tais como: emitir radiação gama (alto poder de penetração) e meia-vida apropriada. Um dos isótopos usados é o tecnécio-99, que emite este tipo de radiação e apresenta meia-vida de 12 horas. Qual o tempo necessário para diminuir a emissão dessa radiação para 3,125 % da intensidade inicial?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa específica. Informações dadas:
  • Meia-vida do tecnécio-99: T_{1/2}=12 horas.
  • Queremos que a emissão caia para 3,125\% da intensidade inicial.
    Pedido: qual o tempo t necessário para que a intensidade seja 3,125\% do valor inicial?

Passo 2

Modelo de decaimento por meia-vida (fórmula que usamos):
I(t)=I_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}
Explicando cada símbolo: I(t) é a intensidade no tempo t; I_0 é a intensidade inicial (no instante t=0); T_{1/2} é a meia-vida (tempo que reduz a intensidade pela metade); t é o tempo que queremos encontrar. Essa fórmula diz que a cada intervalo de T_{1/2} a intensidade é multiplicada por \tfrac{1}{2}.

Passo 3

Transformo a condição pedida em uma equação usando a razão \dfrac{I(t)}{I_0}. A condição “reduzir para 3,125\% da inicial” é
\frac{I(t)}{I_0}=3,125\%=0,03125.
Agora substituo na fórmula do decaimento:
0,03125=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/12}.

Passo 4

Vou reconhecer a potência de 2 à direita. Observação: 0,03125=\dfrac{1}{32} e 32=2^{5}, logo
0,03125=2^{-5}.
Assim a equação fica
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/12}=2^{-5}.
Reescrevendo \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/12}=2^{-t/12}, obtemos
2^{-t/12}=2^{-5}.

Passo 5

Igualando os expoentes (porque as bases são iguais e não nulas), temos
-\frac{t}{12}=-5.
Multiplicando ambos os lados por -12,
t=12\cdot 5=60.

Passo 6

Interpretação intuitiva: cada meia-vida de 12 horas reduz pela metade; após 5 meia-vidas a intensidade será \left(\tfrac{1}{2}\right)^5=\tfrac{1}{32}=3,125\%. Como 5 meia-vidas correspondem a 5\times 12=60 horas, o resultado faz sentido fisicamente.

Passo 7

Resultado final: serão necessárias 60 horas. Dá para converter se quiseres: 60 horas =2,5 dias. Força aí — essa conta é direta em prova: identificar a fração como potência de 2 e multiplicar pelo tempo de meia-vida!

Resposta

60 horas

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