O raio da engrenagem do girabrequim (Crankshaft sprocket) de um motor a combustão interna é 30 mm , que possui uma rotação de 2000 RPM e constante. O raio da polia tensionadora (Drive belt tensioner) é de 30 mm e da engrenagem intermediária (Intermediate sproket). Considerando que não haja escorregamento nos contatos entre correia
as rodas, determine: 2.1 ) a velocidade
da correia dentada e 2.2 ) a menor aceleração da correia dentada. (20 pontos).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas. Vou listar com calma para não nos perder:
- Raio da engrenagem do girabrequim (Crankshaft sprocket):
. Tomei esse dado do enunciado/imagem. - Rotação do girabrequim:
(constante). - Raio da polia tensionadora (Drive belt tensioner):
. Tomei esse dado do enunciado/imagem. - Não há escorregamento entre correia e rodas (condição “no slip”).
Perguntas:
2.1) Determinar a velocidadeda correia dentada.
2.2) Determinar a menor aceleração da correia dentada.
Observação importante: o enunciado não precisa do raio de outras polias para achar a velocidade da correia (basta a polia que tem velocidade angular conhecida). Para a aceleração é preciso interpretar o que significa “menor”: pode ser (a) o menor valor absoluto da aceleração ao longo de toda a correia (inclui trechos retos) ou (b) a menor aceleração na parte curva (quando a correia descreve arco em torno de uma polia). Vou tratar os dois sentidos para ficar completo; ao final indico qual é a resposta pedida de forma direta.
Passo 2
Conceito fundamental que vamos usar (explicando devagar):
- “Sem escorregamento” significa que a velocidade linear (tangencial) da superfície da polia é igual à velocidade da correia no ponto de contato. Ou seja, se a polia tem velocidade angular
e raio , a correia tem velocidade
Aqui
é a velocidade angular em
,
é o raio em metros, e
é a velocidade linear em
.
- Conversão de rotação em rpm para velocidade angular em rad/s:
.
Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Converter a rotação dada para rad/s.
- Dado
. - Primeiro transformar em revoluções por segundo:
. - Agora
Se quiser um valor numérico aproximado,
Passo 4
Calcular a velocidade linear da correia usando
.
- Converter o raio para metros:
- Usando
,
- Simplificando numericamente,
- Portanto em valor decimal
Pequeno comentário didático: observe como deu exatamente
m/s por causa dos números; sempre que converter rpm para rev/s e multiplicar por
é útil pensar em
.
Passo 5
Agora vamos à aceleração da correia. Primeiro explicar os tipos de aceleração que aparecem em movimento curvilíneo:
- Aceleração tangencial
: ligada à variação da velocidade escalar (módulo da velocidade). Fórmula geral em rotação: , onde é a aceleração angular ( ). Se a velocidade angular é constante, , logo . - Aceleração normal (centrípeta)
: ligada à curvatura do trajeto, aponta para o centro da curva e tem módulo
onde
é o raio de curvatura do caminho (para contato com polia é o raio da polia). Em trechos retos, o raio de curvatura é infinito e, portanto,
nesses trechos.
Passo 6
Aplicar ao nosso caso:
- A rotação do girabrequim é constante, então a velocidade linear da correia é constante (módulo constante). Logo a aceleração tangencial ao longo da correia é
- Em trechos retos da correia (entre polias) não há curvatura, então a aceleração normal ali é
Portanto, em muitos pontos da correia (nos trechos rectilíneos) a aceleração total
tem módulo zero. Assim, o menor valor absoluto da aceleração ao longo de toda a correia é
obtido nos trechos retos.
Passo 7
Como provável interesse prático (muitos professores pedem também a aceleração na polia), calculemos a aceleração normal quando a correia passa envolvida numa polia de raio
. Isso não é a “menor” (é um valor alto), mas é útil:
- Usamos
com e :
- Portanto, ao dobrar em torno de uma polia de
a correia sofre uma aceleração centrípeta de aproximadamente .
Observação final: se por “menor aceleração” o examinador quisesse o menor valor positivo associado às curvas, aí deveríamos calcular
usando o maior raio de curvatura presente (maior polia). No enunciado os valores das outras polias não ficaram todos explícitos, mas como a tensionadora e o crank são de
o valor que calculei para
é um exemplo. No entanto o menor valor absoluto da aceleração ao longo da correia é mesmo zero (nos trechos retos), que é a resposta mais direta.
Resposta
2.1)
2.2) Menor aceleração ao longo da correia: .
2.2) Menor aceleração ao longo da correia: