O raio da engrenagem do girabrequim (Crankshaft sprocket) de um motor a combustão interna é 30 mm , que possui uma rotação de 2000 RPM e constante. O raio da polia tensionadora (Drive belt tensioner) é de 30 mm e da engrenagem intermediária (Intermediate sproket). Considerando que não haja escorregamento nos contatos entre correia e as rodas, determine: 2.1 ) a velocidade v da correia dentada e 2.2 ) a menor aceleração da correia dentada. (20 pontos).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas. Vou listar com calma para não nos perder:
  • Raio da engrenagem do girabrequim (Crankshaft sprocket): r_{\text{crank}} = 30\\ \text{mm}. Tomei esse dado do enunciado/imagem.
  • Rotação do girabrequim: \text{RPM} = 2000\\ \text{rpm} (constante).
  • Raio da polia tensionadora (Drive belt tensioner): r_{\text{tensioner}} = 30\\ \text{mm}. Tomei esse dado do enunciado/imagem.
  • Não há escorregamento entre correia e rodas (condição “no slip”).
    Perguntas:
    2.1) Determinar a velocidade v da correia dentada.
    2.2) Determinar a menor aceleração da correia dentada.
Observação importante: o enunciado não precisa do raio de outras polias para achar a velocidade da correia (basta a polia que tem velocidade angular conhecida). Para a aceleração é preciso interpretar o que significa “menor”: pode ser (a) o menor valor absoluto da aceleração ao longo de toda a correia (inclui trechos retos) ou (b) a menor aceleração na parte curva (quando a correia descreve arco em torno de uma polia). Vou tratar os dois sentidos para ficar completo; ao final indico qual é a resposta pedida de forma direta.

Passo 2

Conceito fundamental que vamos usar (explicando devagar):
  • “Sem escorregamento” significa que a velocidade linear (tangencial) da superfície da polia é igual à velocidade da correia no ponto de contato. Ou seja, se a polia tem velocidade angular \omega e raio r, a correia tem velocidade
v = \omega r.
Aqui \omega é a velocidade angular em \text{rad/s}, r é o raio em metros, e v é a velocidade linear em \text{m/s}.
  • Conversão de rotação em rpm para velocidade angular em rad/s: \omega = \dfrac{2\pi (\text{rev/s})}{1} = 2\pi \cdot \dfrac{\text{rpm}}{60}.
Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Converter a rotação dada para rad/s.
  • Dado \text{RPM} = 2000\\ \text{rpm}.
  • Primeiro transformar em revoluções por segundo: \dfrac{2000}{60} = \dfrac{100}{3}\\ \text{rev/s}.
  • Agora \omega = 2\pi \cdot \dfrac{100}{3} = \dfrac{200\pi}{3}\\ \text{rad/s}.
    Se quiser um valor numérico aproximado,
\omega \approx \dfrac{200\cdot 3{,}14159}{3} \approx 209{,}44\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Calcular a velocidade linear da correia usando v=\omega r.
  • Converter o raio para metros: r_{\text{crank}} = 30\\ \text{mm} = 0{,}03\\ \text{m}.
  • Usando \omega = \dfrac{200\pi}{3},
v = \omega r = \dfrac{200\pi}{3}\cdot 0{,}03 = \dfrac{200\pi\cdot 0{,}03}{3}.
  • Simplificando numericamente,
v = \dfrac{200\cdot 0{,}03\cdot \pi}{3} = \dfrac{6\pi}{3} = 2\pi\\ \text{m/s}.
  • Portanto em valor decimal
v \approx 2\cdot 3{,}14159 = 6{,}283\\ \text{m/s}.
Pequeno comentário didático: observe como deu exatamente 2\pi m/s por causa dos números; sempre que converter rpm para rev/s e multiplicar por 2\pi r é útil pensar em v = (\text{rev/s})\cdot 2\pi r.

Passo 5

Agora vamos à aceleração da correia. Primeiro explicar os tipos de aceleração que aparecem em movimento curvilíneo:
  • Aceleração tangencial a_t: ligada à variação da velocidade escalar (módulo da velocidade). Fórmula geral em rotação: a_t = r\alpha, onde \alpha é a aceleração angular ( \text{rad/s}^2). Se a velocidade angular é constante, \alpha=0, logo a_t=0.
  • Aceleração normal (centrípeta) a_n: ligada à curvatura do trajeto, aponta para o centro da curva e tem módulo
a_n = \dfrac{v^2}{r_{\text{curv}}},
onde r_{\text{curv}} é o raio de curvatura do caminho (para contato com polia é o raio da polia). Em trechos retos, o raio de curvatura é infinito e, portanto, a_n=0 nesses trechos.

Passo 6

Aplicar ao nosso caso:
  • A rotação do girabrequim é constante, então a velocidade linear da correia é constante (módulo constante). Logo a aceleração tangencial ao longo da correia é
a_t = 0.
  • Em trechos retos da correia (entre polias) não há curvatura, então a aceleração normal ali é
a_n = 0.
Portanto, em muitos pontos da correia (nos trechos rectilíneos) a aceleração total \vec a tem módulo zero. Assim, o menor valor absoluto da aceleração ao longo de toda a correia é
\boxed{0\\ \text{m/s}^2},
obtido nos trechos retos.

Passo 7

Como provável interesse prático (muitos professores pedem também a aceleração na polia), calculemos a aceleração normal quando a correia passa envolvida numa polia de raio r=0{,}03\\ \text{m}. Isso não é a “menor” (é um valor alto), mas é útil:
  • Usamos a_n = \dfrac{v^2}{r} com v \approx 6{,}283\\ \text{m/s} e r=0{,}03\\ \text{m}:
a_n = \dfrac{(6{,}283)^2}{0{,}03} \approx \dfrac{39{,}478}{0{,}03} \approx 1315{,}9\\ \text{m/s}^2.
  • Portanto, ao dobrar em torno de uma polia de 30\\ \text{mm} a correia sofre uma aceleração centrípeta de aproximadamente 1{,}32\times 10^3\\ \text{m/s}^2.
Observação final: se por “menor aceleração” o examinador quisesse o menor valor positivo associado às curvas, aí deveríamos calcular a_n usando o maior raio de curvatura presente (maior polia). No enunciado os valores das outras polias não ficaram todos explícitos, mas como a tensionadora e o crank são de 30\\ \text{mm} o valor que calculei para 30\\ \text{mm} é um exemplo. No entanto o menor valor absoluto da aceleração ao longo da correia é mesmo zero (nos trechos retos), que é a resposta mais direta.

Resposta

2.1) v = 6{,}283\\ \text{m/s}.
2.2) Menor aceleração ao longo da correia: 0\\ \text{m/s}^2.

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