Água (líquido incompressível, \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) escoa por uma tubulação que tem duas seções em sequência.
Seção 1: diâmetro D_{1}=200 \mathrm{~mm} e velocidade média \mathrm{v}_{1}=1,50 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
Seção 2: diâmetro D_{2}=100 \mathrm{~mm}
Calcule:
a) a área de cada seção \left(A_{1}, A_{2}\right);
b) a vazão volumétrica \mathrm{Q}\left(\mathrm{m}^{3} / \mathrm{s}\right. e \left.\mathrm{L} / \mathrm{s}\right);
c) a velocidade média em ( D_{2}, V_{2} );
d) a vazão mássica ( \mathrm{kg} / \mathrm{s} ).

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as quantidades listadas abaixo.
Dados fornecidos:
\rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3},
D_1 = 200\\ \mathrm{mm},
v_1 = 1,50\\ \mathrm{m/s},
D_2 = 100\\ \mathrm{mm}.
Perguntas:
a) Calcular as áreas das seções \;A_1 e \;A_2.
b) Calcular a vazão volumétrica \;Q em \mathrm{m^3/s} e em \mathrm{L/s}.
c) Calcular a velocidade média em \;D_2, ou seja \;v_2.
d) Calcular a vazão mássica \;\dot{m} em \mathrm{kg/s}.
Observação importante: convertemos diâmetros de milímetros para metros antes de usar fórmulas (pois as unidades do SI devem ser consistentes).

Passo 2

Primeiro passo prático — converter diâmetros para metros:
D_1 = 200\\ \mathrm{mm} = 0,200\\ \mathrm{m},
D_2 = 100\\ \mathrm{mm} = 0,100\\ \mathrm{m}.
Fórmula da área de uma seção circular (aqui cada seção é um círculo):
A = \frac{\pi D^2}{4},
onde A é a área em \mathrm{m^2} e D é o diâmetro em \mathrm{m}. Vou aplicar essa fórmula em cada seção.

Passo 3

Cálculo de A_1:
A_1 = \frac{\pi D_1^2}{4} = \frac{\pi (0,200)^2}{4}.
Calcule passo a passo:
(0,200)^2 = 0,0400,
\frac{0,0400}{4} = 0,0100,
A_1 = 0,0100\pi \\ \mathrm{m^2} \approx 0,031416\\ \mathrm{m^2}.
Cálculo de A_2:
A_2 = \frac{\pi D_2^2}{4} = \frac{\pi (0,100)^2}{4}.
Passos:
(0,100)^2 = 0,0100,
\frac{0,0100}{4} = 0,0025,
A_2 = 0,0025\pi \\ \mathrm{m^2} \approx 0,007854\\ \mathrm{m^2}.

Passo 4

Agora a vazão volumétrica \;Q. Para escoamento incompressível e estacionário a vazão é a mesma em qualquer seção (continuidade):
Q = A_1 v_1 = A_2 v_2.
Usando A_1 e v_1:
Q = A_1 v_1 = 0,031416\\ \mathrm{m^2}\times 1,50\\ \mathrm{m/s}.
Multiplicando:
Q \approx 0,047124\\ \mathrm{m^3/s}.
Converter para \mathrm{L/s}: 1\\ \mathrm{m^3} = 1000\\ \mathrm{L}, logo
Q \approx 0,047124\\ \mathrm{m^3/s}\times 1000 = 47,124\\ \mathrm{L/s}.

Passo 5

Cálculo da velocidade média em D_2, isto é v_2.
Usando Q = A_2 v_2, isolamos v_2:
v_2 = \frac{Q}{A_2}.
Substituindo valores:
v_2 = \frac{0,047124\\ \mathrm{m^3/s}}{0,007854\\ \mathrm{m^2}}.
Cálculo prático: note que A_1/A_2 = (D_1/D_2)^2 = (0,200/0,100)^2 = 2^2 = 4. Assim
v_2 = v_1\frac{A_1}{A_2} = v_1\left(\frac{D_1}{D_2}\right)^2 = 1,50\times 4 = 6,00\\ \mathrm{m/s}.
(Esse atalho é útil na prova: quando os diâmetros são múltiplos simples, a razão de velocidades vem do quadrado da razão dos diâmetros.)

Passo 6

Cálculo da vazão mássica \dot{m}.
Fórmula:
\dot{m} = \rho Q,
onde \dot{m} é em \mathrm{kg/s}, \rho em \mathrm{kg/m^3} e Q em \mathrm{m^3/s}.
Substituindo:
\dot{m} = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}\times 0,047124\\ \mathrm{m^3/s} \approx 47,124\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (resumindo o procedimento, bem prático):
  • Sempre comece convertendo unidades (mm → m).
  • Calcule áreas com A=\pi D^2/4.
  • Use continuidade Q=A v para encontrar \;Q ou \;v.
  • Para vazão mássica, multiplique \rho por Q.
  • Se os diâmetros têm razão simples, use v_2 = v_1 (D_1/D_2)^2 para ir mais rápido.

Resposta

a) A_1 = 0,031416\\ \mathrm{m^2}
a) A_2 = 0,007854\\ \mathrm{m^2}
b) Q = 0,047124\\ \mathrm{m^3/s}
b) Q = 47,124\\ \mathrm{L/s}
c) v_2 = 6,00\\ \mathrm{m/s}
d) \dot{m} = 47,124\\ \mathrm{kg/s}

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