Defina viscosidade nos líquidos e com o modelo de placas obtenha a equação
, mostrando e explicando o que cada variável significa.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) uma definição de viscosidade em líquidos; (2) usar o modelo de placas para obter a fórmula
mostrando e explicando o que cada variável significa.
Informações implícitas que vamos usar: há duas superfícies (placas) paralelas com fluido entre elas, haverá movimento relativo entre camadas de fluido e assumiremos condições clássicas de “modelo de placas” (camadas planas paralelas, escoamento estacionário e condição de não deslizamento nas superfícies).
Informações implícitas que vamos usar: há duas superfícies (placas) paralelas com fluido entre elas, haverá movimento relativo entre camadas de fluido e assumiremos condições clássicas de “modelo de placas” (camadas planas paralelas, escoamento estacionário e condição de não deslizamento nas superfícies).
Passo 2
O que é viscosidade (explicação didática): viscosidade é a propriedade de um fluido que mede a resistência interna ao deslizamento entre camadas vizinhas. Imagine empilhar várias lâminas de fluido: se eu empurro a lâmina de cima, as lâminas internas “seguram” essa movimentação por atrito interno — isso é a viscosidade agindo. Em linguagem prática: quanto maior a viscosidade, maior a resistência ao movimento relativo entre camadas.
Passo 3
Definição operacional e fluido newtoniano: para muitos líquidos (chamados de fluidos newtonianos) a força por unidade de área (tensão de cisalhamento) entre camadas é proporcional à taxa de variação da velocidade com a distância entre as camadas. Escrevemos essa proportionalidade assim:
onde:
-
é a tensão de cisalhamento (força por unidade de área, em ), -
é a viscosidade dinâmica do fluido (em ), -
é a taxa de variação da velocidade do fluido na direção normal às camadas (em ).
Essa é a lei de Newton da viscosidade: tensão é proporcional à taxa de deformação (), e é o coeficiente de proporcionalidade.
Passo 4
Descrição geométrica do modelo de placas (o arranjo que vamos usar): considere duas placas planas e paralelas, separadas por uma distância
. A placa de baixo está fixa e a placa de cima se move com velocidade constante
paralela às placas. O fluido ocupa o espaço entre as placas e obedece à condição de não deslizamento: a velocidade do fluido junto a cada placa é igual à velocidade da placa naquele ponto. Chamamos de
a coordenada perpendicular às placas (com
na placa de baixo e
na placa de cima) e de
a área de contato entre a placa e o fluido.
Passo 5
Perfil de velocidades e taxa de cisalhamento: sob as hipóteses (escoamento estacionário, camadas planas, sem gradientes na direção paralela às placas), o perfil de velocidade no interior do fluido é linear entre as placas. Logo podemos escrever
pois em
temos
(placa inferior fixa) e em
temos
(placa superior com velocidade
). A partir desse perfil, a derivada que representa a taxa de deformação é
uma constante independente de
nesse modelo simples.
Passo 6
Relacionando tensão e força: por definição, tensão de cisalhamento
é a força tangencial por unidade de área. Ou seja,
onde
é a força tangencial total aplicada sobre a área
(unidade
).
Passo 7
Combinação das expressões para chegar à fórmula pedida: usando
(Passo 3) e
(Passo 6), igualamos:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a relação desejada:
Passo 8
Significado físico e unidades de cada variável (explicação detalhada para a prova):
-
: força tangencial total exercida sobre a placa (ou sobre a superfície do fluido), medida em (newtons). É o que você teria que aplicar para manter a placa superior movendo-se a velocidade em regime estacionário. -
: viscosidade dinâmica do fluido (também chamada coeficiente de viscosidade), medida em no SI. Indica a “pegajosidade” interna do fluido. Exemplos: água à temperatura ambiente tem ; mel tem muito maior. -
: área da placa em contato com o fluido (em ). A força total cresce proporcionalmente à área. -
: componente da velocidade do fluido paralela às placas, função de (em ). -
: coordenada normal às placas (em ); é portanto a variação da velocidade por unidade de distância normal, medida em (taxa de cisalhamento).
Verificação de unidades:tem unidades . Multiplicando por (m^2) e por (s^{-1}) resulta em , consistente com .
Passo 9
Observações úteis para a prova (quando aplicar e hipóteses):
- A fórmula vale exatamente para fluidos newtonianos sob escoamento simples de cisalhamento (como o caso das placas). Para fluidos não-newtonianos a relação entre
e não é linear e pode depender de . - A hipótese da velocidade linear
é consequência da solução das equações de momento para esse caso simples e da ausência de pressões variando na direção paralela; na prova, se pedirem, você pode justificar rapidamente dizendo “perfil linear devido a solução do equilíbrio de forças em escoamento laminar entre placas com condições de não deslizamento”. - Em casos gerais (não-constante
) a equação local continua válida ponto a ponto, e a força sobre uma área pequena é ; integrar quando necessário.
Passo 10
Se
,
,
e
(água), então
e
Ou seja, uma força bem pequena nesse exemplo (a viscosidade da água é baixa).