Defina viscosidade nos líquidos e com o modelo de placas obtenha a equação F=\mu A \frac{d v}{d y}, mostrando e explicando o que cada variável significa.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) uma definição de viscosidade em líquidos; (2) usar o modelo de placas para obter a fórmula
F=\mu A \frac{d v}{d y},
mostrando e explicando o que cada variável significa.
Informações implícitas que vamos usar: há duas superfícies (placas) paralelas com fluido entre elas, haverá movimento relativo entre camadas de fluido e assumiremos condições clássicas de “modelo de placas” (camadas planas paralelas, escoamento estacionário e condição de não deslizamento nas superfícies).

Passo 2

O que é viscosidade (explicação didática): viscosidade é a propriedade de um fluido que mede a resistência interna ao deslizamento entre camadas vizinhas. Imagine empilhar várias lâminas de fluido: se eu empurro a lâmina de cima, as lâminas internas “seguram” essa movimentação por atrito interno — isso é a viscosidade agindo. Em linguagem prática: quanto maior a viscosidade, maior a resistência ao movimento relativo entre camadas.

Passo 3

Definição operacional e fluido newtoniano: para muitos líquidos (chamados de fluidos newtonianos) a força por unidade de área (tensão de cisalhamento) entre camadas é proporcional à taxa de variação da velocidade com a distância entre as camadas. Escrevemos essa proportionalidade assim:
\tau = \mu \frac{dv}{dy},
onde:
  • \tau é a tensão de cisalhamento (força por unidade de área, em \mathrm{Pa}),
  • \mu é a viscosidade dinâmica do fluido (em \mathrm{Pa\cdot s}),
  • \frac{dv}{dy} é a taxa de variação da velocidade do fluido na direção normal às camadas (em \mathrm{s^{-1}}).
    Essa é a lei de Newton da viscosidade: tensão é proporcional à taxa de deformação ( \frac{dv}{dy}), e \mu é o coeficiente de proporcionalidade.

Passo 4

Descrição geométrica do modelo de placas (o arranjo que vamos usar): considere duas placas planas e paralelas, separadas por uma distância h. A placa de baixo está fixa e a placa de cima se move com velocidade constante V paralela às placas. O fluido ocupa o espaço entre as placas e obedece à condição de não deslizamento: a velocidade do fluido junto a cada placa é igual à velocidade da placa naquele ponto. Chamamos de y a coordenada perpendicular às placas (com y=0 na placa de baixo e y=h na placa de cima) e de A a área de contato entre a placa e o fluido.

Passo 5

Perfil de velocidades e taxa de cisalhamento: sob as hipóteses (escoamento estacionário, camadas planas, sem gradientes na direção paralela às placas), o perfil de velocidade no interior do fluido é linear entre as placas. Logo podemos escrever
v(y)=\frac{V}{h}\,y,
pois em y=0 temos v(0)=0 (placa inferior fixa) e em y=h temos v(h)=V (placa superior com velocidade V). A partir desse perfil, a derivada que representa a taxa de deformação é
\frac{dv}{dy}=\frac{V}{h},
uma constante independente de y nesse modelo simples.

Passo 6

Relacionando tensão e força: por definição, tensão de cisalhamento \tau é a força tangencial por unidade de área. Ou seja,
\tau=\frac{F}{A},
onde F é a força tangencial total aplicada sobre a área A (unidade \mathrm{N}).

Passo 7

Combinação das expressões para chegar à fórmula pedida: usando \tau=\mu \dfrac{dv}{dy} (Passo 3) e \tau=\dfrac{F}{A} (Passo 6), igualamos:
\frac{F}{A}=\mu \frac{dv}{dy}.
Multiplicando ambos os lados por A obtemos a relação desejada:
F=\mu A \frac{dv}{dy}.

Passo 8

Significado físico e unidades de cada variável (explicação detalhada para a prova):
  • \displaystyle F: força tangencial total exercida sobre a placa (ou sobre a superfície do fluido), medida em \mathrm{N} (newtons). É o que você teria que aplicar para manter a placa superior movendo-se a velocidade V em regime estacionário.
  • \displaystyle \mu: viscosidade dinâmica do fluido (também chamada coeficiente de viscosidade), medida em \mathrm{Pa\cdot s} no SI. Indica a “pegajosidade” interna do fluido. Exemplos: água à temperatura ambiente tem \mu\approx 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}; mel tem \mu muito maior.
  • \displaystyle A: área da placa em contato com o fluido (em \mathrm{m^2}). A força total cresce proporcionalmente à área.
  • \displaystyle v: componente da velocidade do fluido paralela às placas, função de y (em \mathrm{m/s}).
  • \displaystyle y: coordenada normal às placas (em \mathrm{m}); \dfrac{dv}{dy} é portanto a variação da velocidade por unidade de distância normal, medida em \mathrm{s^{-1}} (taxa de cisalhamento).
    Verificação de unidades: \mu tem unidades \mathrm{Pa\cdot s}=\mathrm{\frac{N\cdot s}{m^2}}. Multiplicando por A (m^2) e por \dfrac{dv}{dy} (s^{-1}) resulta em \mathrm{N}, consistente com F.

Passo 9

Observações úteis para a prova (quando aplicar e hipóteses):
  • A fórmula vale exatamente para fluidos newtonianos sob escoamento simples de cisalhamento (como o caso das placas). Para fluidos não-newtonianos a relação entre \tau e \dfrac{dv}{dy} não é linear e \mu pode depender de \dfrac{dv}{dy}.
  • A hipótese da velocidade linear v(y)=\dfrac{V}{h}y é consequência da solução das equações de momento para esse caso simples e da ausência de pressões variando na direção paralela; na prova, se pedirem, você pode justificar rapidamente dizendo “perfil linear devido a solução do equilíbrio de forças em escoamento laminar entre placas com condições de não deslizamento”.
  • Em casos gerais (não-constante dv/dy) a equação local \tau=\mu \dfrac{dv}{dy} continua válida ponto a ponto, e a força sobre uma área pequena dA é dF=\mu\,dA\,\dfrac{dv}{dy}; integrar quando necessário.

Passo 10

Se V=1{,}0\\ \mathrm{m/s}, h=0{,}01\\ \mathrm{m}, A=0{,}1\\ \mathrm{m^2} e \mu=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s} (água), então
\frac{dv}{dy}=\frac{V}{h}=\frac{1{,}0}{0{,}01}=100\\ \mathrm{s^{-1}},
e
F=\mu A\frac{dv}{dy}=(1{,}0\times10^{-3})(0{,}1)(100)=0{,}01\\ \mathrm{N}.
Ou seja, uma força bem pequena nesse exemplo (a viscosidade da água é baixa).

Resposta

F=\mu A \frac{dv}{dy}

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