O raio de uma esfera diminui a uma taxa de 2 \mathrm{~cm} / \mathrm{seg} e o raio da base de um cone reto inscrito em dita esfera aumenta a uma taxa de 1 \mathrm{~cm} / \mathrm{seg}. A que velocidade o volume do cone cresce quando o raio da esfera é 10 cm e o radio da base do cone é 6 cm .

Passo 1

O enunciado diz que uma esfera de raio \,R(t)\, está encolhendo à razão \displaystyle \frac{\mathrm dR}{\mathrm dt}=-2\\ \mathrm{cm/s} e que nela está inscrito um cone reto cuja base de raio \,r(t)\, cresce à razão \displaystyle \frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}=1\\ \mathrm{cm/s}. Queremos a velocidade de variação do volume do cone \,V(t)\, quando \,R=10\\ \mathrm{cm} e \,r=6\\ \mathrm{cm}. O conteúdo necessário inclui: relação geométrica entre R, r e a altura h do cone, diferenciação implícita e fórmula do volume de um cone.

Passo 2

Para um cone inscrito numa esfera de raio R, tomando o vértice do cone num polo da esfera e a base num plano paralelo ao equador, as coordenadas satisfazem
r^2 + (R - h)^2 = R^2.
Essa é a relação que liga o raio da base r, a altura do cone h e o raio da esfera R.

Passo 3

Diferenciando implicitamente em relação a t a equação
r^2 + (R - h)^2 = R^2
obtemos
2r\,\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt} + 2\,(R - h)\bigl(\frac{\mathrm dR}{\mathrm dt} - \frac{\mathrm dh}{\mathrm dt}\bigr) = 2R\,\frac{\mathrm dR}{\mathrm dt}.
Reorganizando para \displaystyle \frac{\mathrm dh}{\mathrm dt}
\frac{\mathrm dh}{\mathrm dt} = \frac{r\,\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt} - h\,\frac{\mathrm dR}{\mathrm dt}}{\,R - h\,}.

Passo 4

O volume do cone é
V = \frac{\pi}{3}\,r^2\,h.
Derivando em t e usando que r e h dependem de t, vem
\frac{\mathrm dV}{\mathrm dt} = \frac{\pi}{3}\Bigl(2r\,h\,\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt} \;+\; r^2\,\frac{\mathrm dh}{\mathrm dt}\Bigr).

Passo 5

No instante dado temos R=10, r=6, \mathrm dr/\mathrm dt=1, \mathrm dR/\mathrm dt=-2. Primeiro calculamos
h = R + \sqrt{R^2 - r^2} = 10 + \sqrt{100 - 36} = 10 + 8 = 18,
logo R - h = -8. Então
\frac{\mathrm dh}{\mathrm dt} = \frac{6\cdot1 \;-\; 18\cdot(-2)}{-8} = \frac{6 + 36}{-8} = -\frac{42}{8} = -\frac{21}{4}\\ \mathrm{cm/s}.
Em seguida
2r\,h\,\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt} = 2\cdot6\cdot18\cdot1 = 216, \quad r^2\,\frac{\mathrm dh}{\mathrm dt} = 36\cdot\bigl(-\tfrac{21}{4}\bigr) = -189.
Logo
\frac{\mathrm dV}{\mathrm dt} = \frac{\pi}{3}\,(216 - 189) = \frac{\pi}{3}\cdot27 = 9\pi\\ \mathrm{cm^3/s}.

Resposta

\displaystyle \frac{\mathrm dV}{\mathrm dt}=9\pi\\ \mathrm{cm^3/s}.

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