O raio de uma esfera diminui a uma taxa de
e o raio da base de um cone reto inscrito em dita esfera aumenta a uma taxa de
. A que velocidade o volume do cone cresce quando o raio da esfera é 10 cm e o radio da base do cone é 6 cm .
Passo 1
O enunciado diz que uma esfera de raio
está encolhendo à razão
e que nela está inscrito um cone reto cuja base de raio
cresce à razão
. Queremos a velocidade de variação do volume do cone
quando
e
. O conteúdo necessário inclui: relação geométrica entre
,
e a altura
do cone, diferenciação implícita e fórmula do volume de um cone.
Passo 2
Para um cone inscrito numa esfera de raio
, tomando o vértice do cone num polo da esfera e a base num plano paralelo ao equador, as coordenadas satisfazem
Essa é a relação que liga o raio da base
, a altura do cone
e o raio da esfera
.
Passo 3
Diferenciando implicitamente em relação a
a equação
obtemos
Reorganizando para
dá
Passo 4
O volume do cone é
Derivando em
e usando que
e
dependem de
, vem
Passo 5
No instante dado temos
,
,
,
. Primeiro calculamos
logo
. Então
Em seguida
Logo