Um raio luminoso incide sob um ângulo de 45^{\circ} numa lâmina de faces planas e paralelas, imersa no ar, de 4 cm de espessura e índice de refração igual a 1,5 . Ao sair da lâmina, o raio luminoso faz com a normal um ângulo de:
a) 30^{\circ}
b) 45^{\circ}
c) 60^{\circ}
d) 75^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta uma coisa bem direta. Informações fornecidas:
  • Ângulo de incidência na primeira face: \,45^\circ.
  • Lâmina com faces planas e paralelas, espessura \,4\text{ cm} (a espessura não altera o ângulo de saída, só o deslocamento lateral).
  • Índice de refração da lâmina: \,1,5.
  • Meio exterior: ar (índice aproximado \,1).
Pergunta do enunciado:
  • Ao sair da lâmina, qual é o ângulo que o raio forma com a normal? (opções: a) 30^\circ, b) 45^\circ, c) 60^\circ, d) 75^\circ)

Passo 2

Conceito que vamos usar (fórmula e o que significa): a lei de Snell (lei da refração). Ela diz que, ao passar de um meio para outro, os índices de refração e os senos dos ângulos com a normal se relacionam por
n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2,
onde:
  • n_1 é o índice do meio de onde vem o raio,
  • n_2 é o índice do meio para onde vai o raio,
  • \theta_1 é o ângulo de incidência (com a normal) no primeiro meio,
  • \theta_2 é o ângulo refratado (com a normal) no segundo meio.
Explicando em palavras: o produto do índice pelo seno do ângulo é o mesmo nos dois meios. É essa fórmula que usamos para calcular o ângulo dentro da lâmina e o ângulo na saída.

Passo 3

Aplicando Snell na entrada (ar \to lâmina). Tomando n_{\text{ar}}=1, n_{\text{lâmina}}=1,5â, \theta_{\text{inc}}=45^\circ, temos
1\cdot\sin 45^\circ = 1,5\cdot\sin\theta_{\text{dentro}}.
Sabemos que
\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2},
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\sin\theta_{\text{dentro}} = \frac{1}{1,5}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{3}.
Se quiser um valor aproximado para intuir o ângulo dentro da lâmina:
\frac{\sqrt{2}}{3}\approx 0,4714\quad\Rightarrow\quad \theta_{\text{dentro}}\approx 28{,}1^\circ.
(O valor numérico é só para intuição; a razão exata \sin\theta_{\text{dentro}}=\frac{\sqrt{2}}{3} já basta.)

Passo 4

Geometria da lâmina: as duas faces são planas e paralelas. Isso implica que o raio dentro da lâmina atinge a segunda face com o mesmo ângulo em relação à normal que tinha ao entrar, ou seja,
\theta_{\text{incidente na 2ª face}} = \theta_{\text{dentro}}.ª
Em palavras: as normais das duas faces são paralelas, então o ângulo interno relativo à normal não muda ao deslocar-se para a segunda face.

Passo 5

Aplicando Snell na saída (lâmina \to ar). Agora a luz vai do meio com índice 1,5 para o ar com índice 1. A lei de Snell dá
1,5\cdot\sin\theta_{\text{dentro}} = 1\cdot\sin\theta_{\text{saida}}.
Mas da entrada tínhamos \sin\theta_{\text{dentro}} = \dfrac{1}{1,5}\sin 45^\circ. Substituindo:
\sin\theta_{\text{saida}} = 1,5\cdot\left(\frac{1}{1,5}\sin 45^\circ\right) = \sin 45^\circ.
Portanto
\sin\theta_{\text{saida}} = \sin 45^\circ.
Como os ângulos envolvidos são agudos (entre 0^\circ e 90^\circ), isso implica
\theta_{\text{saida}} = 45^\circ.

Passo 6

Verificação rápida de consistência (total internal reflection não ocorre): o ângulo interno calculado ( \approx 28{,}1^\circ) é menor que o ângulo crítico para a interface lâmina \toar, que é
\sin\theta_c = \frac{n_{\text{ar}}}{n_{\text{lâmina}}} = \frac{1}{1,5}=\frac{2}{3}\approx 0,6667,â
ou seja \theta_c\approx 41{,}8^\circ. Como 28{,}1^\circ<41{,}8^\circ, a luz realmente sai do outro lado — tudo consistente.

Resposta

b) 45^\circ

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