Os raios X com um comprimento de onda inicial de 0,900 times 10^-10 m sofrem um espalhamento Compton. Para qual ângulo de espalhamento o comprimento de onda dos raios X espalhados é maior por 1,0 % que aquele dos raios X incidentes?

Passo 1

Resumo do Enunciado:
Temos raios X com um comprimento de onda inicial de 0,900 times 10^-10 metros que sofrem espalhamento Compton. Queremos descobrir para qual ângulo de espalhamento theta o comprimento de onda dos raios X espalhados aumenta em 1,0% em relação ao inicial.
Matéria Envolvida:
Efeito Compton, que explica como o comprimento de onda de partículas de luz, como os raios X, muda quando elas colidem com elétrons.
O que Vamos Precisar:
  • Fórmula do efeito Compton.
  • Conhecimentos básicos de trigonometria e álgebra para manipular a fórmula e resolver para theta.

Passo 2

Fórmula do Efeito Compton:
A mudança no comprimento de onda ( De) devido ao espalhamento Compton é dada por:
lambda' = lambda + hme c (1 - cos theta)
Onde:
  • lambda' é o comprimento de onda após o espalhamento.
  • lambda é o comprimento de onda inicial.
  • h é a constante de Planck ( 6,626 times 10^-34 J·s).
  • me é a massa do elétron ( 9,109 times 10^-31 kg).
  • c é a velocidade da luz ( 3,00 times 10^8 m/s).
  • theta é o ângulo de espalhamento.

Passo 3

Determinar o Aumento de 1,0%:
Queremos que o comprimento de onda espalhado seja 1,0% maior que o inicial:
lambda' = lambda + 0,01lambda = 1,01lambda
Substituindo na fórmula do Compton:
1,01lambda = lambda + hme c (1 - cos theta)

Passo 4

Isolar a Expressão com cos theta:
Vamos subtrair lambda de ambos os lados:
1,01lambda - lambda = hme c (1 - cos theta)
0,01lambda = hme c (1 - cos theta)
Agora, isolando 1 - cos theta:
1 - cos theta = 0,01lambda cdot me ch

Passo 5

Calcular os Valores Numéricos:
Primeiro, calculamos hme c:
hme c = 6,626 times 10^-34 J·s9,109 times 10^-31 kg times 3,00 times 10^8 m/s approx 2,426 times 10^-12 m
Agora, substituindo os valores:
1 - cos theta = 0,01 times 0,900 times 10^-10 m2,426 times 10^-12 m approx 0,371

Passo 6

Determinar o Ângulo theta:
Isolando cos theta:
cos theta = 1 - 0,371 = 0,629
Agora, calculamos o arco cosseno:
theta = cos^-1(0,629) approx 51^circ

Resposta

O ângulo de espalhamento é aproximadamente 51^circ.

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