1. A razão entre o raio e a altura de um cilindro reto é 2 / 5. Calcular seu volume, sabendo que a área total é 63 \pi \mathrm{~cm}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume de um cilindro reto, sabendo duas informações:
  • A razão entre o raio e a altura é \dfrac{2}{5}. Ou seja, \dfrac{r}{h} = \dfrac{2}{5}.
  • A área total do cilindro é 63\pi\\ \text{cm}^2.
Informações relevantes listadas:
  • Queremos V (volume do cilindro).
  • Temos \dfrac{r}{h} = \dfrac{2}{5}.
  • Temos A_{\text{total}} = 63\pi\\ \text{cm}^2.

Passo 2

Vou lembrar as fórmulas que precisamos e explicar o que cada símbolo significa:
  • r é o raio da base do cilindro (em cm).
  • h é a altura do cilindro (em cm).
  • A área lateral do cilindro é a circunferência da base vezes a altura, isto é \;2\pi r h\;. Explicando: a circunferência da base é 2\pi r, e ao “desenrolar” a superfície lateral obtemos um retângulo de largura 2\pi r e altura h.
  • A área de cada base é \pi r^2. O cilindro tem duas bases, então a área total das bases é 2\pi r^2.
  • A área total do cilindro (lateral + bases) é
A_{\text{total}} = 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi r (h + r).
  • O volume do cilindro é a área da base vezes a altura:
V = \pi r^2 h.

Passo 3

Usando a fórmula da área total e a informação dada, escrevemos:
2\pi r (h + r) = 63\pi.
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por \pi:
2 r (h + r) = 63.

Passo 4

Usamos agora a razão \dfrac{r}{h} = \dfrac{2}{5} para expressar h em função de r. Isolando h obtemos
h = \frac{5}{2}\,r.
Substituímos isso na equação da área:
2 r\!\left(\frac{5}{2}r + r\right) = 63.
Calculemos o que está entre parênteses:
\frac{5}{2}r + r = \frac{5}{2}r + \frac{2}{2}r = \frac{7}{2}r.
Então a equação vira
2 r \cdot \frac{7}{2} r = 63.
Simplificando 2 com \tfrac{1}{2}:
7 r^2 = 63.
Logo
r^2 = 9 \quad\Rightarrow\quad r = 3\\ \text{cm},
escolhemos a raiz positiva porque raio é comprimento.

Passo 5

Calculamos a altura usando h = \dfrac{5}{2}r:
h = \frac{5}{2}\cdot 3 = \frac{15}{2} = 7{,}5\\ \text{cm}.
(Usei vírgula para o decimal conforme o estilo pedido: 7{,}5.)

Passo 6

Agora calculamos o volume com V = \pi r^2 h. Substituindo r=3 e h=\dfrac{15}{2}:
V = \pi \cdot 3^2 \cdot \frac{15}{2} = \pi \cdot 9 \cdot \frac{15}{2} = \pi \cdot \frac{135}{2} = \frac{135}{2}\pi\\ \text{cm}^3.
Se preferir em decimal multiplicado por \pi, isso é 67{,}5\pi\\ \text{cm}^3.

Passo 7

(Check rápido para confiança) Verificando a área total com r=3 e h=7{,}5:
A_{\text{total}} = 2\pi r (h+r) = 2\pi\cdot 3\cdot(7{,}5+3) = 6\pi\cdot 10{,}5 = 63\pi,
conferindo com o dado do enunciado — perfeito.

Resposta

\dfrac{135}{2}\pi\\ \text{cm}^3

Exercícios relacionados