- A razão entre o raio e a altura de um cilindro reto é
. Calcular seu volume, sabendo que a área total é
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume de um cilindro reto, sabendo duas informações:
- A razão entre o raio e a altura é
. Ou seja, . - A área total do cilindro é
.
Informações relevantes listadas:
- Queremos
(volume do cilindro). - Temos
. - Temos
.
Passo 2
Vou lembrar as fórmulas que precisamos e explicar o que cada símbolo significa:
-
é o raio da base do cilindro (em cm). -
é a altura do cilindro (em cm). - A área lateral do cilindro é a circunferência da base vezes a altura, isto é
. Explicando: a circunferência da base é , e ao “desenrolar” a superfície lateral obtemos um retângulo de largura e altura . - A área de cada base é
. O cilindro tem duas bases, então a área total das bases é . - A área total do cilindro (lateral + bases) é
- O volume do cilindro é a área da base vezes a altura:
Passo 3
Usando a fórmula da área total e a informação dada, escrevemos:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Passo 4
Usamos agora a razão
para expressar
em função de
. Isolando
obtemos
Substituímos isso na equação da área:
Calculemos o que está entre parênteses:
Então a equação vira
Simplificando
com
:
Logo
escolhemos a raiz positiva porque raio é comprimento.
Passo 5
Calculamos a altura usando
:
(Usei vírgula para o decimal conforme o estilo pedido:
.)
Passo 6
Agora calculamos o volume com
. Substituindo
e
:
Se preferir em decimal multiplicado por
, isso é
.
Passo 7
(Check rápido para confiança) Verificando a área total com
e
:
conferindo com o dado do enunciado — perfeito.