A reação citrato \rightarrow oxalacetato \boldsymbol{+} acetato é catalisada pela enzima citratase e que exige a presença de magnésio.
Calcule o valor de K_{M} e V_{\text {máx }}á para esta reação, sabendo que:
\left[\mathrm{Mg}^{+2}\right](\mathrm{mmol} / \mathrm{L}) Velocidade da reação (mmol/L.s)
8,35 11,75
2,99 8,50
0,96 4,80
0,32 2,80

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o valor de K_{M} e de V_{\text{máx}}á para a reação catalisada pela citratase, sabendo as velocidades medidas para diferentes concentrações de \mathrm{Mg}^{+2}.
As informações fornecidas são (peguei os dados da tabela do enunciado):
\begin{array}{lc} \left[\mathrm{Mg}^{+2}\right]\;(\mathrm{mmol\;L^{-1}}) & \text{Velocidade}\;(\mathrm{mmol\;L^{-1}\;s^{-1}})\\\\ 8,35 & 11,75\\\\ 2,99 & 8,50\\\\ 0,96 & 4,80\\\\ 0,32 & 2,80 \end{array}
O que se pede: calcular numericamente K_{M} e V_{\text{máx}}á a partir desses dados experimentais.

Passo 2

Breve explicação didática da fórmula que vamos usar (sem pular etapas). A cinética de Michaelis–Menten descreve a dependência da velocidade v pela concentração do substrato [S] (aqui [S] é \left[\mathrm{Mg}^{+2}\right]):
v = \frac{V_{\text{máx}}\,[S]}{K_{M} + [S]}á
O que significa cada símbolo:
  • v: velocidade inicial da reação (unidade: \mathrm{mmol\;L^{-1}\;s^{-1}}).
  • [S]: concentração do substrato (aqui \mathrm{mmol\;L^{-1}}).
  • V_{\text{máx}}á: velocidade máxima quando a enzima está saturada pelo substrato.
  • K_{M}: constante de Michaelis — a concentração de substrato na qual v = V_{\text{máx}}/2á. Tem unidade de concentração ( \mathrm{mmol\;L^{-1}}).
Para determinar K_{M} e V_{\text{máx}}á a partir de dados experimentais fazemos uma linearização conhecida (dupla recíproca ou Lineweaver–Burk), que facilita extrair os parâmetros por regressão linear.

Passo 3

Transformação para a forma linear (Lineweaver–Burk). Tomando o recíproco de ambos os lados da equação de Michaelis–Menten obtemos:
\frac{1}{v} = \frac{K_{M}}{V_{\text{máx}}}\cdot\frac{1}{[S]} + \frac{1}{V_{\text{máx}}}áá
Isto é uma equação da forma \;y = m x + b\; com:
  • x = \dfrac{1}{[S]},
  • y = \dfrac{1}{v},
  • m = \dfrac{K_{M}}{V_{\text{máx}}}á (coeficiente angular),
  • b = \dfrac{1}{V_{\text{máx}}}á (intercepto vertical).
Portanto, se fizermos uma regressão linear de y em função de x obtemos m e b, e daí V_{\text{máx}} = 1/bá e K_{M} = m\cdot V_{\text{máx}}á. Vou aplicar aqui a regressão linear pelo método dos mínimos quadrados (fórmulas padrão), que são fáceis de calcular com poucos pontos.

Passo 4

Calcular os recíprocos para cada dado (faço as contas ponto a ponto):
\begin{array}{lcl} \text{Para }[S]=8,35,& & \\\ x_1=\dfrac{1}{[S]}=\dfrac{1}{8,35}=0,119760\quad &,&\quad y_1=\dfrac{1}{v}=\dfrac{1}{11,75}=0,085106\\[6pt] \text{Para }[S]=2,99,& & \\\ x_2=\dfrac{1}{2,99}=0,334448\quad &,&\quad y_2=\dfrac{1}{8,50}=0,117647\\[6pt] \text{Para }[S]=0,96,& & \\\ x_3=\dfrac{1}{0,96}=1,041667\quad &,&\quad y_3=\dfrac{1}{4,80}=0,208333\\[6pt] \text{Para }[S]=0,32,& & \\\ x_4=\dfrac{1}{0,32}=3,125000\quad &,&\quad y_4=\dfrac{1}{2,80}=0,357143 \end{array}
(Arredondei os recíprocos em torno de 6 casas decimais para manter precisão nas contas feitas à mão.)]

Passo 5

Agora aplico as fórmulas de mínimos quadrados para ajustar uma reta y = m x + b aos pontos (x_i,y_i). Preciso calcular estes somatórios (com n=4):
\begin{aligned} \sum x_i &= x_1+x_2+x_3+x_4 = 0,119760+0,334448+1,041667+3,125000 = 4,620875\\[4pt] \sum y_i &= y_1+y_2+y_3+y_4 = 0,085106+0,117647+0,208333+0,357143 = 0,768230\\[4pt] \sum x_i y_i &= 0,119760\cdot0,085106 + 0,334448\cdot0,117647 + 1,041667\cdot0,208333 + 3,125000\cdot0,357143 \\\ &= 1,382621\\[4pt] \sum x_i^2 &= 0,119760^2 + 0,334448^2 + 1,041667^2 + 3,125000^2 = 10,975852 \end{aligned}
(Os produtos e quadrados foram calculados ponto a ponto e somados; mantive 6 casas significativas nas somas para consistência.)]

Passo 6

Fórmulas dos coeficientes da regressão linear (mínimos quadrados):
m=\frac{n\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)}{n\sum x_i^{2} - (\sum x_i)^2} \qquad\text{e}\qquad b=\frac{\sum y_i - m\sum x_i}{n}
Substituindo os números:
\begin{aligned} m &= \frac{4\cdot 1,382621 - (4,620875)(0,768230)}{4\cdot 10,975852 - (4,620875)^2} \\\ &= \frac{5,530484 - 3,553172}{43,903408 - 21,363477} \\\ &= \frac{1,977312}{22,539931} = 0,0877495 \end{aligned}
\begin{aligned} b &= \frac{0,768230 - 0,0877495\cdot 4,620875}{4} = \frac{0,768230 - 0,405895}{4} = \frac{0,362335}{4} = 0,0905837 \end{aligned}

Passo 7

Converter m e b em V_{\text{máx}}á e K_{M}:
\frac{1}{V_{\text{máx}}}=b \;\Rightarrow\; V_{\text{máx}}=\frac{1}{b}áá
V_{\text{máx}}=\frac{1}{0,0905837}=11,0434\\ \mathrm{mmol\;L^{-1}\;s^{-1}}á
e
\frac{K_{M}}{V_{\text{máx}}}=m \;\Rightarrow\; K_{M}=m\cdot V_{\text{máx}}áá
K_{M}=0,0877495\cdot 11,0434 = 0,96902\\ \mathrm{mmol\;L^{-1}}
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais significativas ou três conforme desejado, temos K_{M}\approx 0,97 e V_{\text{máx}}\approx 11,04á.

Passo 8

Checagem rápida (pra ficar tranquilo): posso estimar a velocidade prevista pela equação de Michaelis–Menten para [S]=8,35:
v_{\text{calc}}=\frac{11,0434\cdot 8,35}{0,96902+8,35}=\frac{92,193}{9,31902}=9,89\\ \mathrm{mmol\;L^{-1}\;s^{-1}}
Esse valor difere do experimental 11,75, o que é normal: a regressão linear pela dupla recíproca tende a dar mais peso a pontos de baixa concentração e há erros experimentais. Ainda assim os parâmetros encontrados são consistentes como estimativa dos valores de K_{M} e V_{\text{máx}}á.

Resposta

\displaystyle K_{M}=0,969\\ \mathrm{mmol\;L^{-1}}
\displaystyle V_{\text{máx}}=11,043\\ \mathrm{mmol\;L^{-1}\;s^{-1}}á

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