A reação de óxido-redução entre ferro metálico e íons permanganato em solução aquosa ácida é
\begin{aligned} & 16 \mathrm{H}^{+}(\mathrm{aq})+5 \mathrm{Fe}(\mathrm{~s})+2 \mathrm{MnO}_{4}^{-}(\mathrm{aq}) \longrightarrow \\\ & 2 \mathrm{Mn}^{+2}(\mathrm{aq})+5 \mathrm{Fe}^{2+}+4 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} \end{aligned}
A certa temperatura, a reação ocorre com uma velocidade tal que 1,00 milimol de \mathrm{H}^{+}é consumido em 2 minutos e 33,8 segundos. Qual é a velocidade dessa reação na unidade de mols por segundo de cada reagente e mols por segundo de cada produto? Em que estas respostas diferem da resposta do problema anterior?

Passo 1

O enunciado dá a reação e pede a velocidade (taxa) em mol/s de cada reagente e de cada produto. Informações fornecidas:
  • Reação:
16\mathrm{H}^{+}(\mathrm{aq})+5\mathrm{Fe}(\mathrm{s})+2\mathrm{MnO}_{4}^{-}(\mathrm{aq})\longrightarrow 2\mathrm{Mn}^{2+}(\mathrm{aq})+5\mathrm{Fe}^{2+}+4\mathrm{H}_{2}\mathrm{O}
  • Dado experimental: 1{,}00 milimol de \mathrm{H}^{+} é consumido em 2 minutos e 33{,}8 segundos.
    O que se pede:
  • Calcular a velocidade da reação em \mathrm{mol\\ s^{-1}} expressa como a variação temporal da quantidade (ou concentração) de cada espécie envolvida (reagentes com sinal negativo, produtos com sinal positivo).
  • Comparar em que isto difere da resposta do problema anterior (explicarei em que sentido os valores mudam e por quê).

Passo 2

Converter unidades (isso é básico mas essencial).
  • Quantidade de \mathrm{H}^{+}: 1{,}00 milimol =1{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{mol}.
  • Tempo: 2 min 33{,}8 s =2\times60+33{,}8=120+33{,}8=153{,}8\\ \mathrm{s}.
    Agora calculo a velocidade de consumo de \mathrm{H}^{+} como variação média:
\frac{d[\mathrm{H}^+]}{dt}\approx\frac{\Delta[\mathrm{H}^+]}{\Delta t}=\frac{-1{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{mol}}{153{,}8\\ \mathrm{s}}.
O sinal é negativo porque \mathrm{H}^{+} está sendo consumido. Faço a divisão:
\frac{d[\mathrm{H}^+]}{dt}=-6{,}50\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\\ s^{-1}}.
(Arredondei para três algarismos significativos.)

Passo 3

Explicar a definição padrão de velocidade de reação e como usar estequiometria para relacionar velocidades de espécies diferentes.
  • Para uma reação geral
aA + bB \longrightarrow cC + dD,
define-se a velocidade da reação r por
r= -\frac{1}{a}\frac{d[A]}{dt}= -\frac{1}{b}\frac{d[B]}{dt}= \frac{1}{c}\frac{d[C]}{dt}= \frac{1}{d}\frac{d[D]}{dt}.
  • Aqui a,b,c,d são os coeficientes estequiométricos; o sinal negativo aparece para reagentes (consumidos) e positivo para produtos (formados). A ideia: r é a mesma (única) taxa normalizada por coeficiente estequiométrico para toda a reação.
  • Vou usar essa relação com a=16 para \mathrm{H}^+ e assim obter r, e a partir de r calculo as taxas de todas as outras espécies.

Passo 4

Calcular a velocidade da reação r a partir da taxa de \mathrm{H}^{+}.
Usando a fórmula com a=16:
r=-\frac{1}{16}\frac{d[\mathrm{H}^+]}{dt}.
Substituindo \dfrac{d[\mathrm{H}^+]}{dt}=-6{,}50\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\\ s^{-1}}:
r=\frac{1}{16}\times 6{,}50\times10^{-6}=4{,}06\times10^{-7}\\ \mathrm{mol\\ s^{-1}}.
(O valor é positivo: r é a velocidade “da reação” normalizada.)

Passo 5

Calcular as velocidades (variações temporais) de cada reagente e produto usando r e os coeficientes estequiométricos.
Regra: para cada espécie X com coeficiente \nu_X (positiva para produtos, negativa para reagentes) vale
\frac{d[X]}{dt}=\nu_X\, r,
onde \nu_X é negativo para reagentes (por exemplo \nu_{\mathrm{H}^+}=-16), mas eu vou aplicar explicitamente com sinais.
  • Para \mathrm{H}^+ (reagente, coeficiente 16):
\frac{d[\mathrm{H}^+]}{dt}=-16\,r=-16\times4{,}06\times10^{-7}=-6{,}50\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\\ s^{-1}},
que confere com o dado inicial (cheque de coerência).
  • Para \mathrm{Fe}(\mathrm{s}) (reagente, coeficiente 5):
\frac{d[\mathrm{Fe}]}{dt}=-5\,r=-5\times4{,}06\times10^{-7}=-2{,}03\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\\ s^{-1}}.
  • Para \mathrm{MnO}_4^{-} (reagente, coeficiente 2):
\frac{d[\mathrm{MnO}_4^-]}{dt}=-2\,r=-2\times4{,}06\times10^{-7}=-8{,}13\times10^{-7}\\ \mathrm{mol\\ s^{-1}}.
  • Para \mathrm{Mn}^{2+} (produto, coeficiente 2):
\frac{d[\mathrm{Mn}^{2+}]}{dt}=+2\,r=+8{,}13\times10^{-7}\\ \mathrm{mol\\ s^{-1}}.
  • Para \mathrm{Fe}^{2+} (produto, coeficiente 5):
\frac{d[\mathrm{Fe}^{2+}]}{dt}=+5\,r=+2{,}03\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\\ s^{-1}}.
  • Para \mathrm{H}_{2}\mathrm{O} (produto, coeficiente 4):
\frac{d[\mathrm{H}_2\mathrm{O}]}{dt}=+4\,r=+1{,}63\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\\ s^{-1}}.
Nos números acima todos os arredondamentos foram feitos a três algarismos significativos; as relações entre eles obedecem estritamente às razões estequiométricas com r=4{,}06\times10^{-7}\\ \mathrm{mol\\ s^{-1}}.

Passo 6

Explicação didática e comparação com o “problema anterior” (o que muda e por quê).
  • O que muda entre dar a velocidade para apenas uma espécie (por exemplo o consumo de \mathrm{H}^+ em mmol por um certo tempo) e dar a velocidade para todas as espécies é que as taxas numéricas são diferentes porque cada espécie aparece com coeficiente estequiométrico diferente.
  • A única taxa “fundamental” é r (a velocidade da reação normalizada). As taxas das espécies são obtidas multiplicando r pelos coeficientes (com sinal). Assim, a diferença é puramente estequiométrica e de sinal: reagentes têm taxa negativa (consumo) e produtos têm taxa positiva (formação). Também pode haver diferença de unidades se o problema anterior deu a taxa em mmol por minuto — aqui converti tudo para \mathrm{mol\\ s^{-1}}.
  • Em resumo: nada inconsistente — apenas mudança de escala (unidades) e de normalização (por coeficiente estequiométrico). Mantendo-se as unidades e a convenção de sinais, tudo bate.

Resposta

\dfrac{d[\mathrm{H}^+]}{dt}=-6{,}50\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\\ s^{-1}}
\dfrac{d[\mathrm{Fe}]}{dt}=-2{,}03\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\\ s^{-1}}
\dfrac{d[\mathrm{MnO}_4^-]}{dt}=-8{,}13\times10^{-7}\\ \mathrm{mol\\ s^{-1}}
\dfrac{d[\mathrm{Mn}^{2+}]}{dt}=+8{,}13\times10^{-7}\\ \mathrm{mol\\ s^{-1}}
\dfrac{d[\mathrm{Fe}^{2+}]}{dt}=+2{,}03\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\\ s^{-1}}
\dfrac{d[\mathrm{H}_2\mathrm{O}]}{dt}=+1{,}63\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\\ s^{-1}}
Velocidade da reação normalizada: r=4{,}06\times10^{-7}\\ \mathrm{mol\\ s^{-1}}.
Diferença em relação ao problema anterior: aqui os valores para cada espécie estão relacionados a r por fatores estequiométricos (e têm sinais opostos para reagentes e produtos); se o problema anterior deu apenas o consumo de \mathrm{H}^+ em outra unidade, a diferença é de unidade e de normalização estequiométrica.

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