1. A reação reversível \mathrm{R} \rightleftharpoons \mathrm{P} ocorre em fase líquida em um reator de mistura ideal de 20 L . O reator opera em regime permanente e à temperatura constante, sendo alimentado por uma corrente contendo apenas o reagente R na concentração de 100 \mathrm{~mol} . \mathrm{L}^{-1} e vazão de 100 \mathrm{~L}^{-1} \mathrm{~h}^{-1}. Sabendo-se que a taxa de reação (- \mathrm{r}_{\mathrm{R}} ), expressa em mol. \mathrm{L}^{-1} \mathrm{~h}^{-1}, é - \mathrm{r}_{\mathrm{R}}=4 \mathrm{C}_{\mathrm{R}}-\mathrm{C}_{\mathrm{P}} em que \mathrm{C}_{\mathrm{R}} e \mathrm{C}_{\mathrm{P}} são as concentrações em mol. \mathrm{L}^{-} { }^{1} de R e P , respectivamente, a conversão e R é:
    (A) 0,2
    (B) 0,4
    (C) 0,5
    (D) 0,6

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a conversão de R:
  • Reator de mistura perfeita (CSTR) em regime permanente.
  • Volume do reator: V=20\\ \mathrm{L}.
  • Alimentação contém apenas o reagente R com concentração na alimentação \,C_{R0}=100\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
  • Vazão volumétrica de alimentação: F=100\\ \mathrm{L\;h^{-1}}.
  • Taxa de reação (expressa como taxa de desaparecimento de R): -r_{R}=4C_{R}-C_{P}, onde C_{R} e C_{P} são as concentrações em \mathrm{mol\;L^{-1}}.
  • Pergunta: qual é a conversão de R (fraction convertido) em regime estacionário?

Passo 2

Entendendo o balanço de massa para um CSTR em regime permanente (passo-a-passo didático):
  • Regra geral para um componente i em regime permanente num CSTR:
\text{acumulação}=0 = F C_{i,\text{in}} - F C_{i} + V r_{i},çã
onde:
  • F é a vazão volumétrica (mesma na entrada e saída),
  • C_{i,\text{in}} é a concentração do componente i na alimentação,
  • C_{i} é a concentração no reator (e na saída, por mistura perfeita),
  • V é o volume do reator,
  • r_{i} é a taxa de formação volumétrica do componente i (positiva se formado, negativa se consumido).
  • Atenção ao sinal da taxa dada: o enunciado fornece -r_{R}=4C_{R}-C_{P}. Isso significa que -r_{R} é a taxa de desaparecimento de R (positiva quando R é consumido). Portanto a taxa de formação de R é
r_{R} = -\bigl(4C_{R}-C_{P}\bigr) = C_{P}-4C_{R}.
  • Como a reação é R \rightleftharpoons P com este estequiométrico simples, a taxa de formação de P é o oposto da formação de R:
r_{P} = -r_{R} = 4C_{R}-C_{P}.

Passo 3

Aplicando os balanços ao sistema (um balanço para R e outro para P) e definindo o tempo de residência \tau=\dfrac{V}{F}:
  • Calcule \tau:
\tau=\dfrac{V}{F}=\dfrac{20\\ \mathrm{L}}{100\\ \mathrm{L\;h^{-1}}}=0{,}2\\ \mathrm{h}.
  • Balanço para R (entrada \,C_{R0}=100, saída C_{R}, taxa r_{R}=C_{P}-4C_{R}):
0 = F C_{R0} - F C_{R} + V r_{R}.
Dividindo toda a equação por F e usando \tau:
0 = C_{R0} - C_{R} + \tau (C_{P}-4C_{R}).
Rearranjando:
C_{R} = C_{R0} + \tau (C_{P}-4C_{R}).
  • Balanço para P (entrada zero, saída C_{P}, taxa r_{P}=4C_{R}-C_{P}):
0 = 0 - F C_{P} + V r_{P}.
Dividindo por F e usando \tau:
0 = -C_{P} + \tau (4C_{R}-C_{P}),
ou
C_{P} = \tau (4C_{R}-C_{P}).

Passo 4

Simplificar o sistema usando \tau=0{,}2:
  • Da equação de P:
C_{P} = 0{,}2\bigl(4C_{R}-C_{P}\bigr).
Desenvolvendo:
C_{P} = 0{,}8C_{R} - 0{,}2C_{P}.
Somando 0{,}2C_{P} em ambos os lados:
1{,}2C_{P} = 0{,}8C_{R}.
Logo:
C_{P} = \dfrac{0{,}8}{1{,}2}C_{R} = \dfrac{2}{3}C_{R}.

Passo 5

Substituir C_{P}=\dfrac{2}{3}C_{R} na equação de R e resolver para C_{R}:
  • Equação de R (escrita antes):
C_{R} = C_{R0} + \tau (C_{P}-4C_{R}).
Substituindo C_{R0}=100 e \tau=0{,}2:
C_{R} = 100 + 0{,}2\!\bigl(C_{P}-4C_{R}\bigr).
Agora substitua C_{P}=\dfrac{2}{3}C_{R}:
C_{R} = 100 + 0{,}2\!\left(\dfrac{2}{3}C_{R}-4C_{R}\right).
Calcule o parêntese:
\dfrac{2}{3}C_{R}-4C_{R} = \dfrac{2}{3}C_{R} - \dfrac{12}{3}C_{R} = -\dfrac{10}{3}C_{R}.
Então:
C_{R} = 100 + 0{,}2\left(-\dfrac{10}{3}C_{R}\right) = 100 - \dfrac{2}{3}C_{R}.
Passe o termo -\dfrac{2}{3}C_{R} para o lado esquerdo:
C_{R} + \dfrac{2}{3}C_{R} = 100 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{5}{3}C_{R} = 100.
Portanto:
C_{R} = 100\cdot \dfrac{3}{5} = 60\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.

Passo 6

Determinar C_{P} e a conversão de R:
  • Usando C_{P}=\dfrac{2}{3}C_{R}:
C_{P} = \dfrac{2}{3}\cdot 60 = 40\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
  • Definição de conversão de R: fração consumida em relação à alimentação,
X = \dfrac{C_{R0}-C_{R}}{C_{R0}}.
Substituindo C_{R0}=100 e C_{R}=60:
X = \dfrac{100-60}{100} = \dfrac{40}{100} = 0{,}4.

Passo 7

Verificação rápida (checando consistência nas equações originais):
  • Calcule -r_{R}=4C_{R}-C_{P}=4\cdot 60 - 40 = 240 - 40 = 200\\ \mathrm{mol\;L^{-1}\;h^{-1}}.
  • Balanço para R: entrada F C_{R0}=100\cdot 100=10000\\ \mathrm{mol\;h^{-1}}, saída F C_{R}=100\cdot 60=6000\\ \mathrm{mol\;h^{-1}}, consumo por reação V(-r_{R})=20\cdot 200=4000\\ \mathrm{mol\;h^{-1}}. Soma: 6000+4000=10000 (consistente).
  • Portanto os valores estão corretos e a conversão calculada é consistente.

Resposta

0,4

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