1. Em reator tubular de 1,2 \mathrm{~m}^{3}, uma reação irreversível de primeira ordem, conduzida a uma temperatura constante, alcança conversão de 90 \%. Qual o volume, em \mathrm{m}^{3}, do reator necessário para que a conversão atinja 99 \% ?
    (A) 0,5
    (B) 2,4
    (C) 4,8
    (D) D(6,0)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Temos um reator tubular (reator pistonado / PFR) de volume \,1,2\\ \mathrm{m}^{3} no qual uma reação irreversível de primeira ordem, à temperatura constante, alcança conversão de \,90\%.
  • Queremos o volume necessário para que a conversão atinja \,99\%.
  • Dados relevantes extraídos do enunciado: o volume conhecido V_1 = 1,2\\ \mathrm{m}^{3}, conversão correspondente X_1 = 0,90 e conversão desejada X_2 = 0,99.
  • O que nos pedem: determinar V_2 (em \mathrm{m}^3) para X_2=0,99.

Passo 2

Vamos entender a física e definir as variáveis (calma, eu explico devagar).
  • Conversão \,X é a fração de reagente consumida: \,X = \dfrac{F_{A0}-F_A}{F_{A0}}, onde \,F_{A0} é o fluxo molar de entrada de A e \,F_A o fluxo molar em um ponto do reator.
  • Para cinética de primeira ordem temos a velocidade por volume (consumo) \,r_A = k\,C_A, com:
    • \,k = constante de velocidade (unidade \mathrm{time}^{-1}),
    • \,C_A = concentração de A (unidade \mathrm{mol\cdot m^{-3}}).
  • No reator pistonado (tubular, PFR) com vazão volumétrica constante \,v_0, a relação entre fluxo molar e concentração é \,F_A = C_A\,v_0.
  • A equação de projeto para um PFR, em termos de conversão, é
V = \int_{0}^{X}\dfrac{F_{A0}\,dX}{-r_A}.
Vou mostrar como usar isso para a cinética de primeira ordem.

Passo 3

Derivação passo a passo para o caso de primeira ordem (sem pular etapas).
  • Começamos com a equação de projeto em termos de X:
V = \int_{0}^{X}\dfrac{F_{A0}\,dX}{-r_A}.
  • Para primeira ordem, o consumo (valor positivo usado no denominador) é -r_A = k\,C_A.
  • Como C_A = F_A / v_0 e F_A = F_{A0}(1-X), temos
- r_A = k\,\frac{F_{A0}(1-X)}{v_0}.
  • Substituindo em V:
V = \int_{0}^{X}\dfrac{F_{A0}\,dX}{k\,\dfrac{F_{A0}(1-X)}{v_0}}
  • Podemos simplificar F_{A0} que aparece no numerador e denominador:
V = \int_{0}^{X}\dfrac{v_0\,dX}{k(1-X)}.
  • Essa integral é direta (é a integral de 1/(1-X)):
V = \dfrac{v_0}{k}\,\ln\!\left(\dfrac{1}{1-X}\right).
Essa é a fórmula chave: para um PFR com cinética de primeira ordem, o volume necessário para atingir conversão X é proporcional a \ln\!\big(\tfrac{1}{1-X}\big). A constante de proporcionalidade \tfrac{v_0}{k} depende da vazão e da constante cinética, mas é a mesma para as duas situações do enunciado (mesma condição de operação e mesma temperatura).

Passo 4

Usamos a fórmula obtida para relacionar os dois volumes sem precisar conhecer \dfrac{v_0}{k}.
  • Para X_1 e X_2 temos:
V_1 = \dfrac{v_0}{k}\,\ln\!\left(\dfrac{1}{1-X_1}\right), \qquad V_2 = \dfrac{v_0}{k}\,\ln\!\left(\dfrac{1}{1-X_2}\right).
  • Dividindo membro a membro para eliminar \dfrac{v_0}{k}:
\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{\ln\!\left(\dfrac{1}{1-X_2}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{1}{1-X_1}\right)}.
Assim podemos obter V_2 a partir de V_1 e dos X dados.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos e calculando de forma simples (sem calculadora complexa):
  • Temos V_1 = 1,2\\ \mathrm{m}^3, X_1 = 0,90 e X_2 = 0,99.
  • Calculemos os argumentos dos logaritmos:
    • 1-X_1 = 1-0,90 = 0,10, então \dfrac{1}{1-X_1} = \dfrac{1}{0,10} = 10.
    • 1-X_2 = 1-0,99 = 0,01, então \dfrac{1}{1-X_2} = \dfrac{1}{0,01} = 100.
  • Portanto
\dfrac{V_2}{1,2} = \dfrac{\ln(100)}{\ln(10)}.
  • Usando a propriedade dos logaritmos \ln(100) = \ln(10^2) = 2\ln(10), obtemos
\dfrac{V_2}{1,2} = \dfrac{2\ln(10)}{\ln(10)} = 2.

Passo 6

Concluímos o valor de V_2 e checamos unidades:
  • Multiplicando,
V_2 = 2 \times 1,2 = 2,4\\ \mathrm{m}^3.
  • Unidade faz sentido: é volume em \mathrm{m}^3.

Resposta

\,2,4\\ \mathrm{m}^{3}

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