Um reagente A na concentração de 1 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} é alimentado a um sistema de dois reatores de mistura perfeita em série que operam na mesma temperatura. A reação é de 1{ }^{\mathrm{a}} ordem (\mathrm{A} \rightarrow \mathrm{R}). A concentração de A de saída do primeiro reator é 0,5 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} e na saída do segundo reator é de 0,25 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}. A relação entre os volumes dos reatores V_{1} / V_{2} é:
(A) 0,25
(B) 4
(C) 0,5
(D) 1

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a razão entre os volumes dos reatores, isto é V_{1}/V_{2}.
Informações dadas:
  • Concentração de entrada do sistema: \;C_{0}=1\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.
  • Saída do primeiro reator (primeiro CSTR): \;C_{1}=0,5\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.
  • Saída do segundo reator (segundo CSTR): \;C_{2}=0,25\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.
  • Reação de 1^{\mathrm{a}} ordem: A\rightarrow R com constante de velocidade \;k.
  • Os dois reatores operam na mesma temperatura (logo \;k é o mesmo em ambos).
  • Os reatores são de mistura perfeita (CSTR) e estão em série.

Passo 2

Modelo e fórmula básica para um CSTR com reação de primeira ordem — derivação passo a passo e explicação das variáveis.
Definimos:
  • \;C_{\text{in}} = concentração à entrada do reator (mol/L).
  • \;C_{\text{out}} = concentração à saída do reator (mol/L).
  • \;Q = vazão volumétrica (L/s ou L/h, idem para ambos os reatores).
  • \;V = volume do reator (L).
  • \;k = constante de velocidade da reação de primeira ordem (unidade recíproca do tempo).
  • \;\tau = tempo de residência (ou tempo espacial) definido como \;\tau = V/Q (unidade de tempo).
Balanço material em regime estacionário (acumulação nula) para o reator:
Q C_{\text{in}} - Q C_{\text{out}} - V \cdot r = 0,
onde r é a taxa de consumo por volume. Para reação de primeira ordem, r = k C_{\text{out}} (em CSTR usa-se a concentração de saída no termo reacional porque o reator é bem misturado).
Substituindo:
Q C_{\text{in}} - Q C_{\text{out}} - V k C_{\text{out}} = 0.
Isolando C_{\text{out}}:
Q C_{\text{in}} = C_{\text{out}} (Q + V k)
C_{\text{out}} = \frac{Q}{Q + V k}\, C_{\text{in}} = \frac{C_{\text{in}}}{1 + k \dfrac{V}{Q}}.
Usando \tau = V/Q obtemos a forma prática:
C_{\text{out}} = \frac{C_{\text{in}}}{1 + k \tau}.
Comentário didático: essa fórmula mostra que quanto maior \tau (maior volume ou menor vazão) maior será a conversão e menor será C_{\text{out}}. Para primeira ordem a dependência é através do produto adimensional k\tau.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao primeiro reator.
Para o primeiro reator temos \;C_{\text{in}} = C_{0} = 1 e \;C_{\text{out}} = C_{1} = 0,5.
Da fórmula \;C_{\text{out}} = \dfrac{C_{\text{in}}}{1 + k \tau} podemos rearranjar para obter k\tau:
k\tau = \frac{C_{\text{in}}}{C_{\text{out}}} - 1.
Assim, para o primeiro reator:
k\tau_{1} = \frac{C_{0}}{C_{1}} - 1 = \frac{1}{0,5} - 1 = 2 - 1 = 1.
Portanto \;k\tau_{1} = 1.

Passo 4

Aplicando a mesma ideia ao segundo reator.
Para o segundo reator a entrada é a saída do primeiro, logo \;C_{\text{in}} = C_{1} = 0,5 e \;C_{\text{out}} = C_{2} = 0,25.
Usando a mesma fórmula rearranjada:
k\tau_{2} = \frac{C_{1}}{C_{2}} - 1 = \frac{0,5}{0,25} - 1 = 2 - 1 = 1.
Portanto \;k\tau_{2} = 1.

Passo 5

Concluindo a razão entre volumes.
Como os reatores operam na mesma temperatura, a constante \;k é a mesma nos dois reatores. Temos \;k\tau_{1} = k\tau_{2} e, com k\neq 0, segue que \;\tau_{1} = \tau_{2}.
Lembrando que \;\tau_{i} = V_{i}/Q, e a vazão Q é a mesma para ambos (série), temos
\frac{V_{1}}{Q} = \frac{V_{2}}{Q} \quad\Rightarrow\quad V_{1} = V_{2}.
Portanto a razão pedida é
\frac{V_{1}}{V_{2}} = 1,
que corresponde à alternativa (D). Força aí — deu certo!

Resposta

1 (D)

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