1. Se a receita marginal de produzir x unidades de um certo bem é 40-\frac{1}{60} x^{2} reais por unidade e custo marginal é 10+\frac{1}{60} x^{2} reais por unidade, quantas unidades devem ser produzidas para maximizar o lucro?
    Seja a receita marginal \frac{d R}{d x}=40-\frac{x^{2}}{60} e custo marginal \frac{d C}{d x}=10+\frac{x^{2}}{60}.
    O lucro é dado por L(x)=R(x)-C(x). Procurando os pontos críticos de L(x),
\begin{gathered} \frac{d L}{d x}=\frac{d R}{d x}-\frac{d C}{d x}=0 \\\ \frac{d R}{d x}=\frac{d C}{d x} \\\\ 40-\frac{x^{2}}{60}=10+\frac{x^{2}}{60} \\\ x^{2}=30^{2} \\\ x=30 \quad(x>0) \end{gathered}

Passo 1

O enunciado dá a receita marginal
\frac{dR}{dx} = 40 - \frac{x^2}{60}
e o custo marginal
\frac{dC}{dx} = 10 + \frac{x^2}{60}
e pede quantas unidades x devem ser produzidas para maximizar o lucro L(x)=R(x)-C(x). O conteúdo aqui é otimização via derivadas: usamos a condição de ponto crítico \frac{dL}{dx}=0, isto é, igualar receita marginal a custo marginal.

Passo 2

Escrevemos a derivada do lucro:
\frac{dL}{dx} = \frac{dR}{dx} - \frac{dC}{dx}
e impomos o ponto crítico
\frac{dL}{dx}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dR}{dx} = \frac{dC}{dx}.

Passo 3

Igualando as expressões de margem:
40 - \frac{x^2}{60} = 10 + \frac{x^2}{60}.
Passo a passo:
40 - 10 = \frac{x^2}{60} + \frac{x^2}{60} \quad\Longrightarrow\quad 30 = \frac{2x^2}{60} \quad\Longrightarrow\quad 30 = \frac{x^2}{30} \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 900.
Como x>0, fica
x = 30.

Passo 4

Para garantir que é máximo, calculamos a segunda derivada do lucro:
\frac{d^2L}{dx^2} = \frac{d}{dx}\Bigl(40 - \tfrac{x^2}{60} - 10 - \tfrac{x^2}{60}\Bigr) = -\frac{2x}{60} - \frac{2x}{60} = -\frac{4x}{60}.
Em x=30 isso vale -\tfrac{4\cdot30}{60}=-2<0, confirmando que é ponto de máximo.

Resposta

Devem ser produzidas 30 unidades para maximizar o lucro.

Exercícios relacionados