1. (a) Suponha que um fabricante possa vender x bicicletas por ano ao preço de p=3000- 0,1 x reais cada uma e que o custo para ele produzir x bicicletas seja C(x)=600000+750 x reais. Para obter lucro máximo, qual deve ser sua produção e a que preço o fabricante deve vender cada bicicleta?
    (b) Se o governo cobra do fabricante um imposto de 250 reais por cada bicicleta comercializada e os outros aspectos da situação não se alteram, qual parcela do imposto ele mesmo deve absorver e qual deve repassar aos consumidores para continuar tendo lucro máximo?
    (a) Seja a função lucro L(x)=p(x) x-C(x), sendo p(x) x=R(x) a receita anual e C(x) o custo anual.
L(x)=(3000-0,1 x) x-(600000+750 x)=-0,1 x^{2}+2250 x-600000
Procuramos os pontos críticos de L(x),
\frac{d L}{d x}=-0,2 x+2250=0 \Longrightarrow x=\frac{2250}{0,2}=11250 \quad \text { bicicletas }
Assim, o preço será p(11250)=3000-0,1(11250)=1875 reais
(b) Novo custo C(x)=600000+750 x+I(x), com I(x)=250 x o imposto pago por cada bicicleta produzida.
L(x)=(3000-0,1 x) x-(600000+750 x+I(x))=-0,1 x^{2}+2000 x-600000
Procuramos os pontos críticos de L(x),
\frac{d L}{d x}=-0,2 x+2000=0 \Longrightarrow x=10000
O novo preço será p(10000)=2000 reais. Assim, \Delta p=2000-1875=125 reais, exatamente 50% de 250. O vendedor deve absorver 50% e repassar o resto para os clientes.

Passo 1

O enunciado diz que a quantidade demandada de bicicletas por ano é x a um preço unitário
p(x)=3000-0,1x,
e que o custo de produção é
C(x)=600000+750x.
Queremos maximizar o lucro, que é receita menos custo. No item (a) calculamos o x ótimo e o preço sem imposto. No item (b) incluímos um imposto de 250 reais por unidade e vemos como isso afeta o x ótimo e o preço de venda, determinando quanto do imposto fica com o fabricante e quanto é repassado ao consumidor.

Passo 2

Definimos a receita anual
R(x)=p(x)\,x=(3000-0,1x)x=3000x-0,1x^2
e o lucro
L(x)=R(x)-C(x)=3000x-0,1x^2-\bigl(600000+750x\bigr)=-0,1x^2+2250x-600000.
Para maximizar, igualamos a derivada a zero:
\frac{dL}{dx}=-0,2x+2250=0
x=\frac{2250}{0,2}=11250\quad\text{bicicletas.}
O preço correspondente é
p(11250)=3000-0,1\cdot11250=1875\quad\text{reais.}

Passo 3

Agora incluímos o imposto de 250 por bicicleta. O novo custo fica
C_{\text{novo}}(x)=600000+750x+250x=600000+1000x
e o lucro
L_{\text{novo}}(x)=(3000-0,1x)x-\bigl(600000+1000x\bigr)=-0,1x^2+2000x-600000.
Derivando e igualando a zero:
\frac{dL_{\text{novo}}}{dx}=-0,2x+2000=0
x=\frac{2000}{0,2}=10000\quad\text{bicicletas.}
O preço que a demanda suporta é
p(10000)=3000-0,1\cdot10000=2000\quad\text{reais.}

Passo 4

Comparando preços antes e depois do imposto:
\Delta p=2000-1875=125\text{ reais.}
Como o imposto é de 250 reais, o fabricante consegue repassar 125 reais ao consumidor e absorve os outros 125 reais.

Resposta

(a) Produção ótima x=11250 bicicletas, preço de venda \,R\$1875.
(b) Dos 250 reais de imposto, 125 reais são repassados ao consumidor e 125 reais ficam por conta do fabricante.

Exercícios relacionados