A receita mensal em reais de um serviço de pesquisa por telefone é relacionada ao número x de respostas pela função R(x)=x^{2}+120 \sqrt{7 x-1300}, que vale para x \geq 200. Se o número de respostas completas estiver aumentando à taxa de 10 formulários por mês, determine a taxa na qual (mensalmente) a receita está mudando quando x=700.
Escolha uma opção:
a. 17650
b. 14070
c. 70000
d. 10070
e. 14700

Passo 1

O enunciado dá a receita mensal
R(x)=x^{2}+120\sqrt{7x-1300}
em que x é o número de respostas e cresce à taxa \tfrac{dx}{dt}=10 formulários por mês. Queremos \tfrac{dR}{dt} quando x=700. Vamos usar a regra da cadeia:
\frac{dR}{dt}=\frac{dR}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}.

Passo 2

Calculamos \tfrac{dR}{dx}. Como
R(x)=x^{2}+120\bigl(7x-1300\bigr)^{1/2},
temos
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x \quad\text{e}\quad \frac{d}{dx}\Bigl[120(7x-1300)^{1/2}\Bigr] =120\cdot\frac12(7x-1300)^{-1/2}\cdot7 =\frac{420}{\sqrt{7x-1300}}.
Logo
\frac{dR}{dx}=2x+\frac{420}{\sqrt{7x-1300}}.

Passo 3

Em x=700 calculamos
7x-1300=7\cdot700-1300=4900-1300=3600, \sqrt{3600}=60. Assim
\left.\frac{dR}{dx}\right|_{x=700} =2\cdot700+\frac{420}{60} =1400+7 =1407.

Passo 4

Finalmente, usando \tfrac{dx}{dt}=10, obtemos
\frac{dR}{dt} =1407\cdot10 =14070.

Resposta

b. 14070

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