Faça o que se pede:
(a) Encontre a série de Maclaurin da função f(x)=\operatorname{sen}(2 x).
(b) Aproxime a função f(x)=\operatorname{sen}(2 x) por um polinônio de grau 2 em torno do ponto a=0, use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f(x) \approx T_{n}(x) quando x estiver no intervalo -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função \sin(2x):
  1. Encontrar a série de Maclaurin (isto é, desenvolver em torno de a=0).
  2. Aproximá-la por um polinômio de grau 2 em torno de a=0 e usar a desigualdade de Taylor para estimar o erro nessa aproximação quando x\in\bigl[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2\bigr].

Passo 2

Começamos da série de Maclaurin de \sin u, que é
\sin u = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k \frac{u^{2k+1}}{(2k+1)!}
Substituindo u = 2x, obtemos
\sin(2x) = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k \frac{(2x)^{2k+1}}{(2k+1)!} = 2x \;-\;\frac{(2x)^3}{3!}\;+\;\frac{(2x)^5}{5!}\;-\cdots.

Passo 3

Para o polinômio de grau 2 usamos a fórmula de Taylor em torno de 0:
T_2(x)=f(0)+f'(0)\,x+\frac{f''(0)}{2!}\,x^2.
Calculamos as derivadas de f(x)=\sin(2x):
f(0)=\sin0=0,\qquad f'(x)=2\cos(2x)\implies f'(0)=2,\qquad f''(x)=-4\sin(2x)\implies f''(0)=0.
Logo
T_2(x)=0 + 2x + \frac{0}{2}\,x^2 = 2x.

Passo 4

A desigualdade de Taylor (forma de Lagrange) para o resto R_2(x) diz
R_2(x)=f(x)-T_2(x) =\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\,x^3 \quad\text{para algum }\xi\text{ entre }0\text{ e }x.
Como
f^{(3)}(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-4\sin(2x)\bigr) = -8\cos(2x),
temos \bigl|f^{(3)}(\xi)\bigr|\le8. Então
\bigl|R_2(x)\bigr| \le \frac{8}{3!}\,\bigl|x\bigr|^3 = \frac{8}{6}\,\bigl|x\bigr|^3 = \frac{4}{3}\,\bigl|x\bigr|^3.
Para \bigl|x\bigr|\le \tfrac\pi2 isso dá
\bigl|R_2(x)\bigr|\le \frac{4}{3}\Bigl(\frac\pi2\Bigr)^3 = \frac{\pi^3}{6}.

Resposta

(a) \displaystyle \sin(2x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{(2x)^{2k+1}}{(2k+1)!} =2x-\frac{(2x)^3}{3!}+\frac{(2x)^5}{5!}-\cdots.
(b) O polinômio de grau 2 é T_2(x)=2x, e o erro satisfaz \bigl|f(x)-T_2(x)\bigr|\le \tfrac{4}{3}|x|^3\le \tfrac{\pi^3}{6} para x\in[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2].

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