Faça o que se pede:
(a) Encontre a série de Maclaurin da função f(x)=\operatorname{sen}(2 x).
(b) Aproxime a função f(x)=\operatorname{sen}(2 x) por um polinônio de grau 2 em torno do ponto a=0, use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f(x) \approx T_{n}(x) quando x estiver no intervalo -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função \sin(2x):
Encontrar a série de Maclaurin (isto é, desenvolver em torno de a=0).
Aproximá-la por um polinômio de grau 2 em torno de a=0 e usar a desigualdade de Taylor para estimar o erro nessa aproximação quando x\in\bigl[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2\bigr].
Passo 2
Começamos da série de Maclaurin de \sin u, que é
\sin u = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k \frac{u^{2k+1}}{(2k+1)!}
(a) \displaystyle \sin(2x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{(2x)^{2k+1}}{(2k+1)!}
=2x-\frac{(2x)^3}{3!}+\frac{(2x)^5}{5!}-\cdots.
(b) O polinômio de grau 2 é T_2(x)=2x, e o erro satisfaz \bigl|f(x)-T_2(x)\bigr|\le \tfrac{4}{3}|x|^3\le \tfrac{\pi^3}{6} para x\in[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2].