Um recipiente em forma de cubo tem vértices
D , onde AB e CD são arestas paralelas do cubo e AC e BD diagonais de faces paralelas do cubo. O vértice A do cubo é colocado em um plano horizontal P , de modo que o plano do retângulo ABCD seja perpendicular a P , o vértice
esteja 2 metros acima de
, o vértice
esteja 8 metros acima de P , e o vértice D esteja 10 metros acima de P . O cubo contém água cuja superfície está 7 metros acima de P. Calcule o volume de água.
Passo 1
Vamos colocar o cubo de lado e olhar só para a seção vertical que ele faz com o plano
à base (o plano que corta o cubo e passa pelos vértices
). O enunciado diz que esse corte é um retângulo
, com
– e
arestas do cubo (comprimento igual à aresta do cubo),
– e
diagonais de faces paralelas do cubo,
– as alturas de sobre o plano
são, respectivamente,
–
–
– as alturas de
Para quatro pontos formarem um paralelogramo (e em particular um retângulo) no espaço, é necessário que o ponto médio da diagonal
coincida com o ponto médio da diagonal
. Em coordenada
isso dá a condição
Substituindo os números fornecidos:
o que é absurdo.
Passo 2
Como a condição de paralelogramo em
já falha, concluímos que não há como encaixar quatro vértices de um cubo com essas quatro alturas diferentes de modo a formarem um retângulo rígido: a soma das alturas de
e
deveria igualar a soma das alturas de
e
, o que não ocorre.
Passo 3
Sem essa condição de coplanaridade-paralelogramo satisfeita, não há dados suficientes nem consistentes para determinar nem o tamanho da aresta do cubo, nem o volume da água.
Resposta
Não é possível resolver o problema: as quatro alturas dadas não permitem que
formem um retângulo no cubo, pois
.