Um recipiente em forma de cubo tem vértices A, B, C e D , onde AB e CD são arestas paralelas do cubo e AC e BD diagonais de faces paralelas do cubo. O vértice A do cubo é colocado em um plano horizontal P , de modo que o plano do retângulo ABCD seja perpendicular a P , o vértice B esteja 2 metros acima de P, o vértice C esteja 8 metros acima de P , e o vértice D esteja 10 metros acima de P . O cubo contém água cuja superfície está 7 metros acima de P. Calcule o volume de água.

Passo 1

Vamos colocar o cubo de lado e olhar só para a seção vertical que ele faz com o plano P\perp à base (o plano que corta o cubo e passa pelos vértices A,B,C,D). O enunciado diz que esse corte é um retângulo ABCD, com
AB e CD arestas do cubo (comprimento igual à aresta do cubo),
AC e BD diagonais de faces paralelas do cubo,
– as alturas de A,B,C,D sobre o plano P são, respectivamente,
z_A=0,\quad z_B=2,\quad z_C=8,\quad z_D=10.
Para quatro pontos formarem um paralelogramo (e em particular um retângulo) no espaço, é necessário que o ponto médio da diagonal AC coincida com o ponto médio da diagonal BD. Em coordenada z isso dá a condição
z_A + z_C \;=\; z_B + z_D.
Substituindo os números fornecidos:
0 + 8 \;=\; 2 + 10 \quad\Longrightarrow\quad 8 = 12,
o que é absurdo.

Passo 2

Como a condição de paralelogramo em z já falha, concluímos que não há como encaixar quatro vértices de um cubo com essas quatro alturas diferentes de modo a formarem um retângulo rígido: a soma das alturas de A e C deveria igualar a soma das alturas de B e D, o que não ocorre.

Passo 3

Sem essa condição de coplanaridade-paralelogramo satisfeita, não há dados suficientes nem consistentes para determinar nem o tamanho da aresta do cubo, nem o volume da água.

Resposta

Não é possível resolver o problema: as quatro alturas dadas não permitem que A,B,C,D formem um retângulo no cubo, pois 0+8\neq2+10.

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