Um paralelepípedo de base 10 \times 10 e altura 30 está apoiado no solo por uma aresta da base, formando um ângulo de 45^{\circ}. A outra base está aberta, e o sólido receberá água até uma altura \mathbf{h}. Para quais valores de \mathbf{h} a altura da água, o volume de água e o volume do paralelepípedo formam, nessa ordem, uma PG?

Passo 1

O enunciado descreve um paralelepípedo de base 10\times10 e altura 30 apoiado sobre a aresta y=0 (de comprimento 10), de modo que a face lateral 30\times10 fica inclinada em \theta=45^\circ. A face superior está aberta e recebemos água até uma altura vertical \,h. Precisamos:\r
  1. Modelar o volume de água V(h) em função de h;\r
  2. Exigir que os três termos a_1=h, a_2=V(h) e a_3=V_{\rm total}=3000 formem uma PG, ou seja, \r
\bigl(V(h)\bigr)^2 \;=\;h\cdot3000.

Passo 2

Escolhemos as coordenadas na face inclinada antes da rotação como (y,x)\in[0,10]\times[0,30]. Após inclinar em \theta=45^\circ em torno da aresta y=0, a altura vertical de um ponto (y,x) fica\r
\;H = x\cos45^\circ + y\sin45^\circ = \frac{x+y}{\sqrt2}.\r
A água até altura h satisfaz H\le h, isto é,\r
\;x+y \le k,\quad k = h\sqrt2.

Passo 3

O volume de água é a área dessa região na seção inclinada vezes a largura 10. Chamando de A(k) essa área no retângulo [0,10]\times[0,30], temos dois regimes (pois k varia de 0 a \max(x+y)=30+10=40, mas a caixa “abre” em k_{\max}=30):\r
\r
  1. Se 0\le k\le10, a região é o triângulo \{x\ge0,y\ge0,x+y\le k\} e\r
A(k)=\frac{k^2}{2}\quad\Longrightarrow\quad V(h)=10\cdot A(k)=5\,k^2=10\,h^2.\r
\r
2. Se 10<k\le30, a região é o “triângulo cortado” mas ainda dá\r
A(k)=\int_{y=0}^{10}(k-y)\,dy \;=\;10k-50\quad\Longrightarrow\quad V(h)=10\,(10k-50)=100\,k-500=100\sqrt2\,h-500.

Passo 4

A condição de PG exige\r
\bigl(V(h)\bigr)^2 \;=\;3000\,h.\r
Vamos resolver em cada ramo.

Passo 5

  1. Para k\le10 (ou seja h\le5\sqrt2),\quad V(h)=10\,h^2. Substituindo:\r
\bigl(10h^2\bigr)^2=3000h\r \quad\Longrightarrow\quad100\,h^4-3000\,h=0\r \quad\Longrightarrow\quad h(h^3-30)=0.\r
Descartamos h=0, ficando \r
\;h=\sqrt[3]{30}.\r
Verificamos \sqrt[3]{30}\approx3{,}11<5\sqrt2\approx7{,}07, logo é válido.\r
\r
2. Para k>10 h>5\sqrt2,\quad V(h)=100\sqrt2\,h-500. A equação\r
\bigl(100\sqrt2\,h-500\bigr)^2=3000h\r
vira um polinômio quadrático em h cujas raízes ficam aproximadamente h\approx2{,}87 e h\approx4{,}35, ambas menores que 5\sqrt2. Logo não atendem ao intervalo h>5\sqrt2.

Resposta

\displaystyle h = \sqrt[3]{30} \approx 3{,}11.

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