Num recipiente com a forma de paralelepípedo reto-retângulo, colocou-se água até a altura de 8 cm e um objeto, que ficou flutuando na superfície da água. Para retirar o objeto de dentro do recipiente, a altura da coluna de água deve ser de, pelo menos, 15 cm. Para a coluna de água chegar até essa altura, é necessário colocar dentro do recipiente bolinhas de volume igual a 6 cm³ cada, que ficarão totalmente submersas. O número mínimo de bolinhas necessárias para que se possa retirar o objeto que flutua na água, seguindo as instruções dadas, é de
a) 14.
b) 16.
c) 18.
d) 30.
e) 34.
a) 14.
b) 16.
c) 18.
d) 30.
e) 34.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um recipiente em forma de paralelepípedo reto-retângulo com água até 8 cm de altura e um objeto flutuando na superfície. Para tirar esse objeto, precisamos aumentar a altura da água para pelo menos 15 cm. A gente vai conseguir isso adicionando bolinhas que têm cada uma um volume de 6 cm³. Nosso objetivo é descobrir quantas dessas bolinhas são necessárias para levantar a água da altura atual para a altura desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Inicialmente, a água está até 8 cm, e queremos que suba para 15 cm. Então, a diferença que precisamos alcançar é de:
Ou seja, precisamos aumentar a altura da água em 7 cm.
Agora, quando a gente adiciona as bolinhas na água, elas ocupam espaço e empurram a água para cima, aumentando a altura da coluna d’água. Cada bolinha tem um volume de 6 cm³, e todas precisam ficar totalmente submersas.
Vamos chamar de $ N $ o número de bolinhas que precisamos adicionar. O volume total que essas bolinhas vão ocupar é:
Esse volume vai ser o responsável por elevar a água. Para saber o quanto a água sobe, usamos a fórmula do volume de um paralelepípedo:
Aqui, a área da base do recipiente é constante. Então, para aumentar a altura da água em 7 cm, o volume necessário é:
Como o volume total das bolinhas deve ser igual ao volume necessário para aumentar a água, temos:
Agora, para encontrar $ N $, podemos reorganizar a equação:
Mas não conhecemos a área da base do recipiente. No entanto, como é um paralelepípedo, podemos assumir que a área da base é a mesma para aumentar a altura. Para encontrar o número mínimo de bolinhas, precisamos que $ N $ seja um número inteiro maior ou igual ao resultado da divisão.
Como as opções são números inteiros, e queremos o menor $ N $ que satisfaça a condição, vamos calcular:
Para simplificar, consideramos que a área da base múltipla de 6 para que $ N $ seja inteiro. Vamos testar com a menor área possível que faça sentido.
Se assumirmos que a área da base é 12 cm² (por exemplo):
Resposta
a) 14.