Vinte e quatro retas são desenhadas no plano de modo que cada reta seja paralela a exatamente outras três. Além disso, não há três retas que se cruzem em um mesmo ponto. Qual é o número total de pontos de interseção entre essas retas?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo! Temos 24 retas desenhadas no plano. Cada uma dessas retas é paralela a exatamente outras 3. Além disso, não existe nenhum ponto onde três retas se cruzam. Nosso objetivo é descobrir quantos pontos de interseção existem no total entre essas retas.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar nas retas que são paralelas. Se cada reta é paralela a 3 outras, isso significa que 4 retas formam um grupo paralelo (a reta original mais as 3 paralelas a ela). Portanto, as 24 retas estão divididas em 6 grupos de 4 retas paralelas cada (porque 24 dividido por 4 dá 6).
Passo 3
Agora, sabemos que retas paralelas nunca se cruzam, então os pontos de interseção só acontecem entre retas de grupos diferentes. Vamos calcular quantos grupos diferentes temos: são 6 grupos.
Queremos saber quantos pontos de interseção existem entre todos esses grupos. Para isso, vamos calcular quantas combinações de 2 grupos podemos fazer, já que a interseção ocorre entre dois grupos distintos.
O número de combinações de 6 grupos tomados 2 a 2 é dado por:
Passo 4
Em cada par de grupos, temos 4 retas em um grupo e 4 retas no outro. Cada reta de um grupo vai se cruzar com todas as retas do outro grupo. Então, para cada par de grupos, o número de pontos de interseção é:
Como temos 15 pares de grupos, o total de pontos de interseção é:
Resposta
O número total de pontos de interseção entre as 24 retas é 240.