Um recipiente de mercúrio cujo volume ocupa exatamente 1 \mathrm{~m}^{3} a uma temperatura de 15^{\circ} \mathrm{C} é aquecido a 80^{\circ} \mathrm{C}. Calcule o volume final ocupado pelo mercúrio no recipiente, sabendo que as variáveis possuem os seguintes erros:
Função:
\mathrm{V}_{2}=\mathrm{V}_{1} \cdot\left[1+\beta \cdot\left(\mathrm{T}_{2}-\mathrm{T}_{1}\right)\right]
Em que:
  • \mathrm{V}_{1}=1 \mathrm{~m}^{3} \pm 1 \%
  • \beta=0,000181 / \mathrm{K} \pm 2 \%=1,893 \times 10^{-4} 1 /{ }^{\circ} \mathrm{C} \pm 2 \%
  • \mathrm{T}_{1}=\left(15^{\circ} \pm 0,5\right)^{\circ} \mathrm{C}
  • \mathrm{T}_{2}=\left(80^{\circ} \pm 0,5\right)^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O que o exercício pede e os dados que temos.
  • Pedido: calcular o volume final ocupado pelo mercúrio V_2 quando o recipiente é aquecido de T_1 para T_2, e estimar o erro (incerteza) em V_2.
  • Função dada:
V_{2}=V_{1}\cdot\bigl[1+\beta\cdot(T_{2}-T_{1})\bigr].
  • Valores fornecidos:
    • V_{1} = 1\\ \mathrm{m}^{3}\\ \pm 1\%.
    • \beta = 1,893\times10^{-4}\\ \mathrm{^{\circ}C^{-1}}\\ \pm 2\%. (peguei o valor numérico \beta=1,893\times10^{-4} do enunciado)
    • T_{1} = (15{,}0\pm0{,}5){}^{\circ}\mathrm{C}.
    • T_{2} = (80{,}0\pm0{,}5){}^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 2

Escolha do método de resolução e brevíssima explicação didática.
  • Método escolhido: propagação de incertezas pela aproximação linear (primeira ordem, ou método das derivadas parciais). Justificativa: as incertezas dadas são pequenas (porcentagens e desvios absolutos pequenos), então a aproximação linear é a forma padrão e prática na prova para estimar o erro em uma função de várias variáveis.
  • Regra (fórmula) que vamos usar: se f(x_1,x_2,\dots,x_n) depende de variáveis independentes x_i com incertezas \sigma_{x_i}, a variância aproximada de f é
\sigma_{f}^{2} \approx \sum_{i}\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x_i}\Bigr)^{2}\sigma_{x_i}^{2}.
Explicando: calcula-se a sensibilidade de f a cada variável usando a derivada parcial; cada sensibilidade é multiplicada pela incerteza da variável; somam-se os quadrados (pressupondo erros independentes) e depois tira-se a raiz quadrada para obter \sigma_f.

Passo 3

Cálculo do valor nominal de V_{2} (sem considerar erro ainda).
  • Primeiro calcule a diferença de temperatura nominal:
\Delta T = T_{2}-T_{1} = 80{,}0-15{,}0 = 65{,}0\\ {}^{\circ}\mathrm{C}.
  • Calcule \beta\Delta T:
\beta\Delta T = \bigl(1,893\times10^{-4}\bigr)\cdot65{,}0 = 0{,}0123045.
  • Logo o valor nominal de V_{2} é
V_{2,\text{nom}} = V_{1}\bigl(1+\beta\Delta T\bigr) = 1{,}0\cdot\bigl(1+0{,}0123045\bigr) = 1{,}0123045\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 4

Determinar as derivadas parciais necessárias (sensibilidades).
A função é V_{2}=V_{1}\bigl[1+\beta(T_{2}-T_{1})\bigr]. As derivadas parciais são:
\frac{\partial V_{2}}{\partial V_{1}} = 1+\beta\Delta T,
\frac{\partial V_{2}}{\partial \beta} = V_{1}\,\Delta T,
\frac{\partial V_{2}}{\partial T_{1}} = -V_{1}\,\beta,
\frac{\partial V_{2}}{\partial T_{2}} = +V_{1}\,\beta.
Agora substituímos os valores nominais para obter números:
\frac{\partial V_{2}}{\partial V_{1}} = 1+0{,}0123045 = 1{,}0123045,
\frac{\partial V_{2}}{\partial \beta} = 1{,}0\cdot65{,}0 = 65{,}0,
\frac{\partial V_{2}}{\partial T_{1}} = -1{,}0\cdot1,893\times10^{-4} = -1,893\times10^{-4},
\frac{\partial V_{2}}{\partial T_{2}} = +1,893\times10^{-4}.

Passo 5

Converter as incertezas fornecidas nas formas absolutas \sigma.
  • V_{1} tem \pm1\%, logo
\sigma_{V_{1}} = 0{,}01\cdot V_{1} = 0{,}01\cdot1{,}0 = 0{,}01\\ \mathrm{m}^{3}.
  • \beta tem \pm2\%, logo
\sigma_{\beta} = 0{,}02\cdot\beta = 0{,}02\cdot(1,893\times10^{-4}) = 3,786\times10^{-6}\\ \mathrm{^{\circ}C^{-1}}.
  • As temperaturas têm incerteza absoluta dada:
\sigma_{T_{1}} = 0{,}5\\ {}^{\circ}\mathrm{C},\qquad \sigma_{T_{2}} = 0{,}5\\ {}^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 6

Calcular as contribuições das variáveis para a variância de V_{2}.
Usando a fórmula de propagação:
\sigma_{V_{2}}^{2} \approx \Bigl(\frac{\partial V_{2}}{\partial V_{1}}\sigma_{V_{1}}\Bigr)^{2} +\Bigl(\frac{\partial V_{2}}{\partial \beta}\sigma_{\beta}\Bigr)^{2} +\Bigl(\frac{\partial V_{2}}{\partial T_{1}}\sigma_{T_{1}}\Bigr)^{2} +\Bigl(\frac{\partial V_{2}}{\partial T_{2}}\sigma_{T_{2}}\Bigr)^{2}.
Agora substituo os números (mostrando cada termo):
  • Termo devido a V_{1}:
\frac{\partial V_{2}}{\partial V_{1}}\sigma_{V_{1}} = 1{,}0123045\cdot0{,}01 = 0{,}010123045,
\Bigl(1{,}0123045\cdot0{,}01\Bigr)^{2} \approx 0{,}00010248.
  • Termo devido a \beta:
\frac{\partial V_{2}}{\partial \beta}\sigma_{\beta} = 65{,}0\cdot3,786\times10^{-6} = 0{,}00024609,
\bigl(0{,}00024609\bigr)^{2} \approx 0{,}00000006056.
  • Termo devido a T_{1}:
\frac{\partial V_{2}}{\partial T_{1}}\sigma_{T_{1}} = (-1,893\times10^{-4})\cdot0{,}5 = -9,465\times10^{-5},
\bigl(-9,465\times10^{-5}\bigr)^{2} \approx 0{,}000000008957.
  • Termo devido a T_{2} (igual em magnitude ao de T_{1}):
\frac{\partial V_{2}}{\partial T_{2}}\sigma_{T_{2}} = 9,465\times10^{-5},
\bigl(9,465\times10^{-5}\bigr)^{2} \approx 0{,}000000008957.

Passo 7

Somar as contribuições e extrair a incerteza \sigma_{V_{2}}.
  • Soma das variâncias:
\sigma_{V_{2}}^{2} \approx 0{,}00010248 + 0{,}00000006056 + 0{,}000000008957 + 0{,}000000008957 \approx 0{,}000102558.
  • Raiz quadrada para obter \sigma_{V_{2}}:
\sigma_{V_{2}} = \sqrt{0{,}000102558}\approx 0{,}010127\\ \mathrm{m}^{3}.
Observação didática rápida: a contribuição dominante vem da incerteza em V_{1} (o erro de 1\% em V_{1} gera praticamente todo o \sigma_{V_{2}}); as incertezas em \beta e nas temperaturas são muito menores aqui.

Passo 8

Apresentar o resultado final com arredondamento apropriado e também a incerteza relativa.
  • Valor nominal calculado:
V_{2} = 1{,}0123045\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Incerteza absoluta:
\sigma_{V_{2}} \approx 0{,}010127\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Para apresentação prática (arredondando a incerteza para dois algarismos relevantes e o valor para a mesma ordem):
V_{2} = (1{,}01230 \pm 0{,}01013)\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Incerteza relativa (percentual):
\frac{\sigma_{V_{2}}}{V_{2}}\times100\% \approx \frac{0{,}010127}{1{,}0123045}\times100\% \approx 1{,}00\%.

Resposta

V_{2} = (1{,}01230 \pm 0{,}01013)\\ \mathrm{m}^{3}\n
Incerteza relativa \approx 1{,}00\%

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