Um recipiente de mercúrio cujo volume ocupa exatamente
a uma temperatura de
é aquecido a
. Calcule o volume final ocupado pelo mercúrio no recipiente, sabendo que as variáveis possuem os seguintes erros:
Função:
Em que:
-
-
-
-
Função:
Passo 1
O que o exercício pede e os dados que temos.
- Pedido: calcular o volume final ocupado pelo mercúrio
quando o recipiente é aquecido de para , e estimar o erro (incerteza) em . - Função dada:
- Valores fornecidos:
-
. -
. (peguei o valor numérico do enunciado) -
. -
.
-
Passo 2
Escolha do método de resolução e brevíssima explicação didática.
- Método escolhido: propagação de incertezas pela aproximação linear (primeira ordem, ou método das derivadas parciais). Justificativa: as incertezas dadas são pequenas (porcentagens e desvios absolutos pequenos), então a aproximação linear é a forma padrão e prática na prova para estimar o erro em uma função de várias variáveis.
- Regra (fórmula) que vamos usar: se
depende de variáveis independentes com incertezas , a variância aproximada de é
Explicando: calcula-se a sensibilidade de
a cada variável usando a derivada parcial; cada sensibilidade é multiplicada pela incerteza da variável; somam-se os quadrados (pressupondo erros independentes) e depois tira-se a raiz quadrada para obter
.
Passo 3
Cálculo do valor nominal de
(sem considerar erro ainda).
- Primeiro calcule a diferença de temperatura nominal:
- Calcule
:
- Logo o valor nominal de
é
Passo 4
Determinar as derivadas parciais necessárias (sensibilidades).
A função é
. As derivadas parciais são:
Agora substituímos os valores nominais para obter números:
Passo 5
Converter as incertezas fornecidas nas formas absolutas
.
-
tem , logo
-
tem , logo
- As temperaturas têm incerteza absoluta dada:
Passo 6
Calcular as contribuições das variáveis para a variância de
.
Usando a fórmula de propagação:
Agora substituo os números (mostrando cada termo):
- Termo devido a
:
- Termo devido a
:
- Termo devido a
:
- Termo devido a
(igual em magnitude ao de ):
Passo 7
Somar as contribuições e extrair a incerteza
.
- Soma das variâncias:
- Raiz quadrada para obter
:
Observação didática rápida: a contribuição dominante vem da incerteza em
(o erro de
em
gera praticamente todo o
); as incertezas em
e nas temperaturas são muito menores aqui.
Passo 8
Apresentar o resultado final com arredondamento apropriado e também a incerteza relativa.
- Valor nominal calculado:
- Incerteza absoluta:
- Para apresentação prática (arredondando a incerteza para dois algarismos relevantes e o valor para a mesma ordem):
- Incerteza relativa (percentual):
Resposta
Incerteza relativa