O volume de um tanque cilíndrico de combustível foi calculado a partir das dimensōes medidas tomadas com uma trena cujo erro sabe-se ser de 2 \mathrm{~mm} / \mathrm{m}. Determine o erro final obtido na capacidade total do tanque, sabendo que suas dimensōes e equação de cálculo são respectivamente:
Diâmetro da base ( \mathrm{D}=6 \mathrm{~m} );
Altura do tanque ( \mathrm{h}=9 \mathrm{~m} );
Equaçāo:
\mathrm{V}=\pi \cdot \mathrm{h} \cdot \mathrm{D}^{2} / 4

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e do que pede:
  • Medida do diâmetro da base: D=6\\ \mathrm{m}.
  • Medida da altura: h=9\\ \mathrm{m}.
  • Erro da trena: 2\\ \mathrm{mm}/\mathrm{m}.
  • Equação usada para o volume do cilindro:
V=\frac{\pi\,h\,D^{2}}{4}.
O que se pede: determinar o erro final obtido na capacidade total do tanque (ou seja, a incerteza absoluta em V).

Passo 2

Converter o erro da trena em fator numérico útil e calcular os erros absolutos nas medições de D e h.
Explicação didática: dizer que “ 2\\ \mathrm{mm}/\mathrm{m}” significa que para cada metro medido a incerteza absoluta é 2\\ \mathrm{mm}=0,002\\ \mathrm{m}. Então a incerteza absoluta numa medida L (em metros) é
\Delta L = 0{,}002\cdot L.
Aplicando isso:
\Delta D = 0{,}002\cdot 6 = 0{,}012\\ \mathrm{m}, \qquad \Delta h = 0{,}002\cdot 9 = 0{,}018\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Escolher o método de propagação de erro adequado e explicar por quê.
Explicação didática: para um valor calculado por uma função diferenciável de variáveis medidas (aqui V(h,D)), a primeira aproximação linear para a incerteza relativa usa diferenciais. Para produtos e potências há uma forma simples: se V\propto h\,D^{2}, então a variação relativa satisfaz aproximadamente
\frac{\Delta V}{V}\approx \frac{\Delta h}{h}+2\frac{\Delta D}{D}.
Isto vem de tomar o diferencial logarítmico ou derivar V e dividir por V. Essa é a maneira prática e padrão em provas para estimar erro absoluto/relativo sem complicar com termos de ordem superior.

Passo 4

Calcular as frações relativas \Delta h/h e \Delta D/D e somá-las com os pesos apropriados.
Cálculo:
\frac{\Delta h}{h}=\frac{0{,}018}{9}=0{,}002, \qquad \frac{\Delta D}{D}=\frac{0{,}012}{6}=0{,}002.
Portanto
\frac{\Delta V}{V}\approx 0{,}002 + 2\cdot 0{,}002 = 0{,}006.
Interpretação: a incerteza relativa no volume é 0{,}006, isto é 0{,}6\%.

Passo 5

Calcular o volume nominal V (sem erro) para depois obter a incerteza absoluta \Delta V.
Cálculo do volume:
V=\frac{\pi\cdot 9\cdot 6^{2}}{4}=\frac{\pi\cdot 9\cdot 36}{4}=\pi\cdot 81.
Então V=81\pi\\ \mathrm{m}^{3}. Se for útil em número aproximado,
V\approx 81\cdot 3{,}1416\approx 254{,}47\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 6

Calcular a incerteza absoluta \Delta V multiplicando a incerteza relativa pelo volume nominal.
Cálculo:
\Delta V \approx 0{,}006\cdot V = 0{,}006\cdot 81\pi = 0{,}486\pi\\ \mathrm{m}^{3}.
Aproximando numericamente:
\Delta V \approx 0{,}006\cdot 254{,}47 \approx 1{,}53\\ \mathrm{m}^{3}.

Resposta

\Delta V \approx 1{,}53\\ \mathrm{m}^{3}
\dfrac{\Delta V}{V}\approx 0{,}006 = 0{,}6\%

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