Um recipiente retangular contém certo liquido, com coeficiente de dilatação volumétrica
, a uma altura h. No interior do recipiente, há uma barra articulada de comprimento L. No equilibrio, a barra forma um ângulo
com a vertical. Quando o sistema tem sua temperatura levemente alterada em
, o ângulo
sofre uma pequena variação. 0 coeficiente de dilatação linear da barra e do recipiente são, respectivamente,
e
. Determine a relação entre
e
para que
aumente com a elevação da temperatura.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um exercício de física que envolve dilatação térmica. O enunciado fala sobre um recipiente retangular com um líquido, uma barra articulada e como o ângulo dessa barra muda quando a temperatura varia. Vamos precisar entender como a dilatação volumétrica e linear funcionam para achar a relação entre os coeficientes de dilatação da barra, do recipiente e do líquido. Preparado? Então vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada termo significa:
- Dilatação Volumétrica (
): Indica como o volume do líquido aumenta quando a temperatura sobe. - Dilatação Linear (
e ): Mostra como o comprimento da barra ( ) e do recipiente ( ) aumentam com a temperatura.
Quando a temperatura aumenta em
, tanto o recipiente quanto a barra se expandem, e o volume do líquido também aumenta. Essa expansão afeta o equilíbrio da barra, fazendo com que o ângulo
com a vertical mude.
Passo 3
Vamos calcular como cada parte se expande:
-
Expansão do recipiente:
Como a dilatação é linear, a variação no comprimento é: -
Expansão da barra:
Da mesma forma: -
Dilatação volumétrica do líquido:
A variação no volume é:
Onde(A área da base vezes a altura).
Passo 4
Agora, vamos ver como essas expansões afetam a altura do líquido e o equilíbrio da barra. Com o recipiente se expandindo, a área da base aumenta, o que pode fazer a altura do líquido diminuir ou aumentar, dependendo da forma do recipiente. Mas para simplificar, vamos considerar que a altura inicial é
e que a variação na altura
está relacionada à dilatação do líquido e do recipiente.
Passo 5
O equilíbrio da barra depende do equilíbrio de forças. Quando a temperatura aumenta, a barra e o recipiente se expandem, e o líquido dilata. Para que o ângulo
aumente, precisamos que a força resultante que age sobre a barra mude de certa forma.
Matematicamente, podemos relacionar as variações de comprimento e volume às variações de força que afetam o ângulo
.
Passo 6
Estabelecendo a relação entre as dilatações, temos que para o ângulo
aumentar quando a temperatura sobe, a expansão do recipiente menos a expansão da barra deve estar relacionada com a dilatação volumétrica do líquido.
Portanto, estabelecemos a seguinte relação:
Resposta
A relação entre os coeficientes de dilatação é
para que o ângulo
aumente com a elevação da temperatura.