Um recipiente retangular contém certo liquido, com coeficiente de dilatação volumétrica gamma, a uma altura h. No interior do recipiente, há uma barra articulada de comprimento L. No equilibrio, a barra forma um ângulo theta com a vertical. Quando o sistema tem sua temperatura levemente alterada em De, o ângulo theta sofre uma pequena variação. 0 coeficiente de dilatação linear da barra e do recipiente são, respectivamente, alpha1 e alpha2. Determine a relação entre alpha1, alpha2 e gamma para que theta aumente com a elevação da temperatura.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um exercício de física que envolve dilatação térmica. O enunciado fala sobre um recipiente retangular com um líquido, uma barra articulada e como o ângulo dessa barra muda quando a temperatura varia. Vamos precisar entender como a dilatação volumétrica e linear funcionam para achar a relação entre os coeficientes de dilatação da barra, do recipiente e do líquido. Preparado? Então vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada termo significa:
  • Dilatação Volumétrica ( gamma): Indica como o volume do líquido aumenta quando a temperatura sobe.
  • Dilatação Linear ( alpha1 e alpha2): Mostra como o comprimento da barra ( alpha1) e do recipiente ( alpha2) aumentam com a temperatura.
Quando a temperatura aumenta em De, tanto o recipiente quanto a barra se expandem, e o volume do líquido também aumenta. Essa expansão afeta o equilíbrio da barra, fazendo com que o ângulo theta com a vertical mude.

Passo 3

Vamos calcular como cada parte se expande:
  1. Expansão do recipiente:
    Como a dilatação é linear, a variação no comprimento é:
    De
  2. Expansão da barra:
    Da mesma forma:
    De
  3. Dilatação volumétrica do líquido:
    A variação no volume é:
    De
    Onde V = A h (A área da base vezes a altura).

Passo 4

Agora, vamos ver como essas expansões afetam a altura do líquido e o equilíbrio da barra. Com o recipiente se expandindo, a área da base aumenta, o que pode fazer a altura do líquido diminuir ou aumentar, dependendo da forma do recipiente. Mas para simplificar, vamos considerar que a altura inicial é h e que a variação na altura De está relacionada à dilatação do líquido e do recipiente.

Passo 5

O equilíbrio da barra depende do equilíbrio de forças. Quando a temperatura aumenta, a barra e o recipiente se expandem, e o líquido dilata. Para que o ângulo theta aumente, precisamos que a força resultante que age sobre a barra mude de certa forma.
Matematicamente, podemos relacionar as variações de comprimento e volume às variações de força que afetam o ângulo theta.

Passo 6

Estabelecendo a relação entre as dilatações, temos que para o ângulo theta aumentar quando a temperatura sobe, a expansão do recipiente menos a expansão da barra deve estar relacionada com a dilatação volumétrica do líquido.
Portanto, estabelecemos a seguinte relação:
gamma = 3 (alpha2 - alpha1)

Resposta

A relação entre os coeficientes de dilatação é gamma = 3 (alpha2 - alpha1) para que o ângulo theta aumente com a elevação da temperatura.

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