Reconsider problem 4 in Chapter 1 and assume that E=205 \mathrm{GPa} and v=0.29.
A. Calculate the principal stresses under load.
B. Calculate the strain, \varepsilon_{z}.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (A) Calcular as tensões principais sob o carregamento.
  • (B) Calcular a deformação \varepsilon_{z}.
O que o enunciado fornece explicitamente:
  • Módulo de Young: E=205\\ \mathrm{GPa}.
  • Coeficiente de Poisson: \nu=0{,}29.
Informações que faltam (dados necessários para resolver numericamente):
  • As componentes do tensor de tensões no ponto de interesse, isto é os valores de \sigma_{x}, \sigma_{y}, \sigma_{z}, \tau_{xy}, \tau_{xz} e \tau_{yz}; ou então a descrição completa da geometria e dos carregamentos que permitam calcular essas componentes.
    Sem essas informações numéricas não é possível obter valores numéricos para as tensões principais nem para \varepsilon_{z}.

Passo 2

O que é preciso saber para (A) — tensões principais:
  • Em geral, as tensões principais são os autovalores (eigenvalues) do tensor de tensões simétrico
\boldsymbol{\sigma}= \begin{pmatrix} \sigma_{x} & \tau_{xy} & \tau_{xz}\\[4pt] \tau_{xy} & \sigma_{y} & \tau_{yz}\\[4pt] \tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{z} \end{pmatrix}.
  • Para encontrar as tensões principais \sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3} resolve-se a equação característica
\det(\boldsymbol{\sigma}-\lambda\mathbf{I})=0,
isto é a cúbica
\lambda^{3}-I_{1}\lambda^{2}+I_{2}\lambda-I_{3}=0,
onde as invariantes são
I_{1}=\sigma_{x}+\sigma_{y}+\sigma_{z},
I_{2}=\sigma_{x}\sigma_{y}+\sigma_{y}\sigma_{z}+\sigma_{z}\sigma_{x}-\tau_{xy}^{2}-\tau_{yz}^{2}-\tau_{xz}^{2},
I_{3}=\det(\boldsymbol{\sigma}).
  • Portanto, para calcular numericamente \sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3} é necessário conhecer as seis componentes independentes do tensor de tensões listadas acima.]

Passo 3

Forma prática (casos comuns) para calcular as tensões principais sem resolver a cúbica completa:
  • Se for um estado de tensão plano (plane stress), isto é \sigma_{z}=0, \tau_{xz}=0, \tau_{yz}=0, então apenas \sigma_{x}, \sigma_{y} e \tau_{xy} são não nulos e as tensões principais no plano são
\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\right)^{2}+\tau_{xy}^{2}},
e a terceira tensão principal é \sigma_{3}=0.
  • Se for um caso de tensão tridimensional geral, segue-se o cálculo via invariantes acima e resolução da cúbica (pode-se usar método trigonométrico ou métodos numéricos). Para a prova, normalmente o enunciado dá as componentes e pede aplicação direta da fórmula plana ou solução via determinante.

Passo 4

O que é preciso saber para (B) — a deformação \varepsilon_{z}:
  • Para um material isotrópico linear (Lei de Hooke generalizada em 3D), as relações tensão-deformação são
\varepsilon_{x}=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_{x}-\nu(\sigma_{y}+\sigma_{z})\bigr),
\varepsilon_{y}=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_{y}-\nu(\sigma_{x}+\sigma_{z})\bigr),
\varepsilon_{z}=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_{z}-\nu(\sigma_{x}+\sigma_{y})\bigr).
  • Nesses fórmulas:
    • E é o módulo de Young (aqui E=205\\ \mathrm{GPa}),
    • \nu é o coeficiente de Poisson (aqui \nu=0{,}29),
    • \sigma_{x},\sigma_{y},\sigma_{z} são as tensões normais nas direções x,y,z.
  • Observações de casos especiais:
    • Em plane stress ( \sigma_{z}=0) obtém-se
    \varepsilon_{z}=-\frac{\nu}{E}(\sigma_{x}+\sigma_{y}).
    • Em plane strain ( \varepsilon_{z}=0) pode-se determinar \sigma_{z} a partir de
    \sigma_{z}=\frac{\nu}{1-\nu}(\sigma_{x}+\sigma_{y}).

Passo 5

Procedimento passo a passo (o que fazer na prova quando tiver os dados completos):
  1. Identificar se o problema é plane stress, plane strain ou 3D. Isso reduz as incógnitas.
  2. Usar as condições de carregamento e geometria fornecidas para calcular \sigma_{x},\sigma_{y},\sigma_{z},\tau_{xy},\tau_{xz},\tau_{yz} no ponto de interesse.
  3. Se for plane stress, aplicar a fórmula direta do passo 3 para obter \sigma_{1} e \sigma_{2} e tomar \sigma_{3}=0. Se for 3D, formar o tensor \boldsymbol{\sigma}, calcular I_{1},I_{2},I_{3} e resolver a cúbica para obter \sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3}.
  4. Para \varepsilon_{z}, usar a fórmula
\varepsilon_{z}=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_{z}-\nu(\sigma_{x}+\sigma_{y})\bigr),
substituindo os valores de \sigma_{x},\sigma_{y},\sigma_{z}, com E=205\\ \mathrm{GPa} e \nu=0{,}29.

Passo 6

Exemplo rápido ilustrativo (apenas para ver como aplicar; não usa dados do seu enunciado porque estes não foram fornecidos):
  • Suponha que, por exemplo, num caso de plane stress se tenha \sigma_{x}=100\\ \mathrm{MPa}, \sigma_{y}=40\\ \mathrm{MPa}, \tau_{xy}=30\\ \mathrm{MPa}.
  • Tensões principais:
\sigma_{1,2}=\frac{100+40}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{100-40}{2}\right)^{2}+30^{2}} =70\pm\sqrt{30^{2}+30^{2}}=70\pm\sqrt{1800}=70\pm42{,}43,
logo \sigma_{1}\approx112{,}43\\ \mathrm{MPa}, \sigma_{2}\approx27{,}57\\ \mathrm{MPa}.
  • Como é plane stress, \sigma_{3}=0.
  • Deformação \varepsilon_{z} (usando \sigma_{z}=0):
\varepsilon_{z}=-\frac{\nu}{E}(\sigma_{x}+\sigma_{y}) =-\frac{0{,}29}{205\times10^{3}}\,(100+40)\\ \text{(todas as tensões em MPa e \(E\) em MPa)}õ
\varepsilon_{z}\approx -\frac{0{,}29}{205000}\cdot140 \approx -1{,}98\times10^{-4}.
Este exemplo mostra o procedimento numérico típico.

Passo 7

Conclusão final sobre o enunciado dado: com apenas E=205\\ \mathrm{GPa} e \nu=0{,}29 não é possível fornecer os valores numéricos pedidos em (A) e (B). É necessário que o enunciado original (problema 4 do Capítulo 1) seja fornecido na íntegra ou que sejam dadas explicitamente as componentes do tensor de tensões ou a descrição completa dos carregamentos/condições de contorno que definem essas componentes.

Resposta

A. Não é possível calcular numericamente as tensões principais porque não foram fornecidas as componentes do tensor de tensões nem a descrição dos carregamentos que as geram.
B. Não é possível calcular numericamente \varepsilon_{z} pelo mesmo motivo; a expressão geral a usar é \displaystyle \varepsilon_{z}=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_{z}-\nu(\sigma_{x}+\sigma_{y})\bigr) com E=205\\ \mathrm{GPa} e \nu=0{,}29.

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