Reconsider problem 4 in Chapter 1 and assume that E=205 \mathrm{GPa} and v=0.29.
A. Calculate the principal stresses under load.
B. Calculate the strain, \varepsilon_{z}.
Passo 1
O que o enunciado pede:
(A) Calcular as tensões principais sob o carregamento.
(B) Calcular a deformação \varepsilon_{z}.
O que o enunciado fornece explicitamente:
Módulo de Young: E=205\\ \mathrm{GPa}.
Coeficiente de Poisson: \nu=0{,}29.
Informações que faltam (dados necessários para resolver numericamente):
As componentes do tensor de tensões no ponto de interesse, isto é os valores de \sigma_{x}, \sigma_{y}, \sigma_{z}, \tau_{xy}, \tau_{xz} e \tau_{yz}; ou então a descrição completa da geometria e dos carregamentos que permitam calcular essas componentes.
Sem essas informações numéricas não é possível obter valores numéricos para as tensões principais nem para \varepsilon_{z}.
Passo 2
O que é preciso saber para (A) — tensões principais:
Em geral, as tensões principais são os autovalores (eigenvalues) do tensor de tensões simétrico
Portanto, para calcular numericamente \sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3} é necessário conhecer as seis componentes independentes do tensor de tensões listadas acima.]
Passo 3
Forma prática (casos comuns) para calcular as tensões principais sem resolver a cúbica completa:
Se for um estado de tensão plano (plane stress), isto é \sigma_{z}=0, \tau_{xz}=0, \tau_{yz}=0, então apenas \sigma_{x}, \sigma_{y} e \tau_{xy} são não nulos e as tensões principais no plano são
Se for um caso de tensão tridimensional geral, segue-se o cálculo via invariantes acima e resolução da cúbica (pode-se usar método trigonométrico ou métodos numéricos). Para a prova, normalmente o enunciado dá as componentes e pede aplicação direta da fórmula plana ou solução via determinante.
Passo 4
O que é preciso saber para (B) — a deformação \varepsilon_{z}:
Para um material isotrópico linear (Lei de Hooke generalizada em 3D), as relações tensão-deformação são
Procedimento passo a passo (o que fazer na prova quando tiver os dados completos):
Identificar se o problema é plane stress, plane strain ou 3D. Isso reduz as incógnitas.
Usar as condições de carregamento e geometria fornecidas para calcular \sigma_{x},\sigma_{y},\sigma_{z},\tau_{xy},\tau_{xz},\tau_{yz} no ponto de interesse.
Se for plane stress, aplicar a fórmula direta do passo 3 para obter \sigma_{1} e \sigma_{2} e tomar \sigma_{3}=0. Se for 3D, formar o tensor \boldsymbol{\sigma}, calcular I_{1},I_{2},I_{3} e resolver a cúbica para obter \sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3}.
Este exemplo mostra o procedimento numérico típico.
Passo 7
Conclusão final sobre o enunciado dado: com apenas E=205\\ \mathrm{GPa} e \nu=0{,}29 não é possível fornecer os valores numéricos pedidos em (A) e (B). É necessário que o enunciado original (problema 4 do Capítulo 1) seja fornecido na íntegra ou que sejam dadas explicitamente as componentes do tensor de tensões ou a descrição completa dos carregamentos/condições de contorno que definem essas componentes.
Resposta
A. Não é possível calcular numericamente as tensões principais porque não foram fornecidas as componentes do tensor de tensões nem a descrição dos carregamentos que as geram.
B. Não é possível calcular numericamente \varepsilon_{z} pelo mesmo motivo; a expressão geral a usar é \displaystyle \varepsilon_{z}=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_{z}-\nu(\sigma_{x}+\sigma_{y})\bigr) com E=205\\ \mathrm{GPa} e \nu=0{,}29.