Uma rede coletora de esgotamento sanitário é construída em condutos de borda livre com diâmetro de 200 mm , inclinação 0,006 \mathrm{~m} / \mathrm{m}, coeficiente de rugosidade de Manning \mathrm{n}=0,013 e altura da lâmina d’água igual a 0,70 \mathrm{D}. Qual a vazão que essa rede de esgoto é capaz de transportar nessas condições?

Passo 1

O enunciado pede: determinar a vazão que a tubulação circular em escoamento de borda livre transporta nas condições dadas.
Dados fornecidos (pegados do enunciado):
  • diâmetro: D=200\\ \mathrm{mm} = 0,2\\ \mathrm{m};
  • inclinação do eixo (declive): S=0,006 (m/m);
  • coeficiente de Manning: n=0,013;
  • altura da lâmina d’água: y=0,70\,D.
O que se pede: calcular a vazão Q (em \mathrm{m^{3}/s}) usando as fórmulas apropriadas para escoamento em conduto circular parcialmente cheio (Manning).

Passo 2

Converter e definir grandezas úteis:
  • raio da seção: r=\dfrac{D}{2}=\dfrac{0,2}{2}=0,1\\ \mathrm{m}.
  • profundidade da lâmina: y=0,70D=0,70\cdot 0,2=0,14\\ \mathrm{m}.
  • relação adimensional da profundidade: \dfrac{y}{r}=\dfrac{0,14}{0,1}=1,4.

Passo 3

Geometria da seção molhada (círculo parcialmente cheio). Explicação didática:
  • Para um círculo de raio r com uma lâmina de altura y medida a partir do fundo, a parte molhada corresponde a um segmento circular com ângulo central 2\theta (em radianos). A relação entre y e \theta é
\cos\theta = 1 - \frac{y}{r}.
Essa fórmula vem da posição vertical da corda que limita a lâmina em relação ao centro do círculo (verifique: para y=0 tem-se \theta=0; para y=2r tem-se \theta=\pi).
  • A área da parte molhada é a área do setor menos a área do triângulo isósceles, resultando na expressão
A = r^{2}\Big(\theta - \sin\theta\cos\theta\Big).
Observação: usamos a identidade \dfrac{1}{2}\sin(2\theta)=\sin\theta\cos\theta.
  • O perímetro molhado (comprimento do arco da superfície molhada) é
P = 2r\theta.
  • O raio hidráulico é
R_h = \frac{A}{P}.
Vou agora aplicar essas fórmulas passo a passo com os números.

Passo 4

Calcular \theta a partir de \cos\theta = 1 - \dfrac{y}{r}:
\cos\theta = 1 - \frac{y}{r} = 1 - 1,4 = -0,4.
Portanto
\theta = \operatorname{arccos}(-0,4)\approx 1,982313\\ \text{rad}.

Passo 5

Calcular a área molhada A. Primeiro calcular \sin\theta e o produto \sin\theta\cos\theta:
\sin\theta=\sqrt{1-\cos^{2}\theta}=\sqrt{1-(-0,4)^{2}}=\sqrt{0,84}\approx 0,916515.
\sin\theta\cos\theta \approx 0,916515\cdot(-0,4) \approx -0,366606.
Agora:
A = r^{2}\big(\theta - \sin\theta\cos\theta\big) = (0,1)^{2}\big(1,982313 - (-0,366606)\big).
A = 0,01\cdot 2,348919 \approx 0,023489\\ \mathrm{m^{2}}.
(Observação: a área total do círculo seria \pi r^{2}\approx 0,031416\\ \mathrm{m^{2}}, então estamos com cerca de 75\% da área total, coerente com y=0,7D.)

Passo 6

Calcular o perímetro molhado P e o raio hidráulico R_h:
P = 2 r \theta = 2\cdot 0,1 \cdot 1,982313 \approx 0,396463\\ \mathrm{m}.
R_h = \frac{A}{P} = \frac{0,023489}{0,396463} \approx 0,059265\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Recordando a fórmula de Manning para escoamento em seção aberta:
Q = \frac{1}{n}\,A\,R_h^{2/3}\,S^{1/2},
onde
  • Q é a vazão (\mathrm{m^{3}/s}),
  • n é o coeficiente de Manning,
  • A é a área molhada (\mathrm{m^{2}}),
  • R_h é o raio hidráulico (\mathrm{m}),
  • S é a inclinação do conduto (adimensional).
Vou calcular cada fator numérico.

Passo 8

Calcular os termos numéricos:
\frac{1}{n}=\frac{1}{0,013}\approx 76,92308.
R_h^{2/3} \approx (0,059265)^{2/3} \approx 0,1520\quad(\text{aprox.}).
S^{1/2} = \sqrt{0,006}\approx 0,0774597.
Agora computar Q:
Q \approx 76,92308 \times 0,023489 \times 0,1520 \times 0,0774597.
Passo a passo:
76,92308\times 0,023489 \approx 1,80763,
1,80763\times 0,1520 \approx 0,27456,
0,27456\times 0,0774597 \approx 0,02125\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Assim, a vazão é aproximadamente 0,02125\\ \mathrm{m^{3}/s}, ou em litros por segundo:
Q \approx 21,25\\ \mathrm{L/s}.

Passo 9

Verificação rápida de plausibilidade: para o conduto completamente cheio a mesma fórmula daria algo em torno de 0,025\\ \mathrm{m^{3}/s} (cálculo rápido), então obter 0,021\\ \mathrm{m^{3}/s} para 70\% de profundidade está coerente.

Resposta

Q \approx 0,0213\\ \mathrm{m^{3}/s}

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