Determinar a largura da base de uma galeria de águas pluviais de seção retangular, de terra
, altura
igual a
, declividade de fundo
, na qual escoa uma vazão
em regime permanente e uniforme.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos.
- Pedido: determinar a largura da base
(em metros) de uma galeria de seção retangular, sabendo que a água escoa em regime permanente e uniforme. - Dados fornecidos:
- rugosidade (Manning) da terra:
, - altura (profundidade de fluxo) da galeria:
, - declividade do fundo:
(adimensional, ), - vazão:
.
- rugosidade (Manning) da terra:
- Informação geométrica da seção retangular (a ser usada): área molhada
, perímetro molhado e raio hidráulico dependem de e . A incógnita é .
Passo 2
Fórmula que vamos usar e significado dos termos.
- Para escoamento uniforme em canal aberto usa-se a fórmula de Manning:
onde:
-
é a vazão , -
é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional), -
é a área da seção molhada , -
é o raio hidráulico , definido por , -
é o perímetro molhado , -
é a declividade da linha de energia, aqui igual à declividade do fundo para escoamento uniforme. -
Para seção retangular com base
e profundidade de fluxo :
Passo 3
Montar a equação em função de
e simplificar com os dados numéricos.
- Substituindo
e na equação de Manning:
- Inserindo os valores numéricos
, e :
- Calcular constantes numéricas:
-
. -
. Multiplicando por :
-
(esse número é
, aproximadamente
.)
- Assim a equação fica
- Dividindo ambos os lados por
para isolar a parte que depende de :
Portanto precisamos achar
que satisfaz
Passo 4
Como resolver a equação não-linear: método numérico por tentativa (bisseção/iteração) e execução.
- A equação não tem solução algébrica simples para
, então usamos tentativas numéricas (biseção/afinações). Vou calcular para alguns valores de até encontrar onde . - Em cada tentativa, cálculo passo a passo:
, , , , . Lembre-se: já fizemos a divisão por antes; aqui calculamos e comparamos com .
Vamos às tentativas (apresento números com 3 casas decimais quando conveniente):
Como
, precisamos aumentar
.
Agora
. Então a solução está entre
e
.
Ainda abaixo de
. Então
está entre
e
.
Agora
. Logo
está entre
e
.
- Refinando,
Agora
. Então
está entre
e
.
- Tentar
Ainda um pouco abaixo de
.
- Tentar
Aqui
é ligeiramente acima de
.
- Como
e , a solução fica entre e . A aproximação com precisão de dois centésimos é (ou com três cifras significativas ).
Passo 5
Interpretação e arredondamento final de acordo com prática de projeto.
- Em projeto de galerias costuma-se informar a largura com duas casas decimais ou com 3 cifras significativas dependendo do nível. Tomando uma aproximação prática e conservadora, podemos adotar
. Se preferir arredondar para menos detalhe técnico, também representa bem a solução numérica encontrada.