Determinar a largura da base de uma galeria de águas pluviais de seção retangular, de terra (n=0,020), altura h igual a 1,85 m, declividade de fundo I=0,004 \mathrm{m} / \mathrm{m}, na qual escoa uma vazão \mathrm{Q}=35 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} em regime permanente e uniforme.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Pedido: determinar a largura da base b (em metros) de uma galeria de seção retangular, sabendo que a água escoa em regime permanente e uniforme.
  • Dados fornecidos:
    • rugosidade (Manning) da terra: n=0,020,
    • altura (profundidade de fluxo) da galeria: h=1,85\\ \mathrm{m},
    • declividade do fundo: I=0,004 (adimensional, \mathrm{m}/\mathrm{m}),
    • vazão: Q=35\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Informação geométrica da seção retangular (a ser usada): área molhada A, perímetro molhado P e raio hidráulico R dependem de b e h. A incógnita é b.

Passo 2

Fórmula que vamos usar e significado dos termos.
  • Para escoamento uniforme em canal aberto usa-se a fórmula de Manning:
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde:
  • Q é a vazão \left(\mathrm{m}^3/\mathrm{s}\right),
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional),
  • A é a área da seção molhada \left(\mathrm{m}^2\right),
  • R é o raio hidráulico \left(\mathrm{m}\right), definido por R=\dfrac{A}{P},
  • P é o perímetro molhado \left(\mathrm{m}\right),
  • S é a declividade da linha de energia, aqui igual à declividade do fundo I para escoamento uniforme.
  • Para seção retangular com base b e profundidade de fluxo h:
A = b\,h, \qquad P = b + 2h, \qquad R = \frac{A}{P}=\frac{b\,h}{b+2h}.

Passo 3

Montar a equação em função de b e simplificar com os dados numéricos.
  • Substituindo A e R na equação de Manning:
Q=\frac{1}{n}\,(b\,h)\left(\frac{b\,h}{b+2h}\right)^{2/3}S^{1/2}.
  • Inserindo os valores numéricos n=0,020, h=1,85 e S=I=0,004:
35=\frac{1}{0,020}\,(b\cdot 1,85)\left(\frac{b\cdot 1,85}{b+2\cdot 1,85}\right)^{2/3}\sqrt{0,004}.
  • Calcular constantes numéricas:
    • \dfrac{1}{0,020}=50.
    • \sqrt{0,004}=0,063245553\ldots. Multiplicando 50 por \sqrt{0,004}:
50\cdot\sqrt{0,004}=50\cdot 0,063245553\ldots=3,16227766\ldots
(esse número é \sqrt{10}, aproximadamente 3,1623.)
  • Assim a equação fica
35=3,16227766\;(1,85\,b)\left(\frac{1,85\,b}{b+3,70}\right)^{2/3}.
  • Dividindo ambos os lados por 3,16227766 para isolar a parte que depende de b:
(1,85\,b)\left(\frac{1,85\,b}{b+3,70}\right)^{2/3}=\frac{35}{3,16227766}\approx 11,073.
Portanto precisamos achar b que satisfaz
f(b):=(1,85\,b)\left(\frac{1,85\,b}{b+3,70}\right)^{2/3}=11,073\ldots

Passo 4

Como resolver a equação não-linear: método numérico por tentativa (bisseção/iteração) e execução.
  • A equação não tem solução algébrica simples para b, então usamos tentativas numéricas (biseção/afinações). Vou calcular f(b) para alguns valores de b até encontrar onde f(b)=11,073.
  • Em cada tentativa, cálculo passo a passo: A=1,85b, P=b+3,70, R=A/P, R^{2/3}, f(b)=A\cdot R^{2/3}. Lembre-se: já fizemos a divisão por 3,1623 antes; aqui calculamos f(b) e comparamos com 11,073.
Vamos às tentativas (apresento números com 3 casas decimais quando conveniente):
  1. b=5,00\\ \mathrm{m}
A=1,85\cdot 5,00=9,25, \qquad P=5,00+3,70=8,70,
R=\frac{9,25}{8,70}=1,063218, \qquad R^{2/3}\approx 1,0417,
f(5,00)=A\,R^{2/3}=9,25\cdot 1,0417\approx 9,636.
Como 9,636<11,073, precisamos aumentar b.
  1. b=6,00\\ \mathrm{m}
A=1,85\cdot 6,00=11,10, \qquad P=6,00+3,70=9,70,
R=\frac{11,10}{9,70}=1,144330, \qquad R^{2/3}\approx 1,0939,
f(6,00)=11,10\cdot 1,0939\approx 12,144.
Agora 12,144>11,073. Então a solução está entre 5,00 e 6,00.
  1. b=5,50\\ \mathrm{m}
A=1,85\cdot 5,50=10,175, \qquad P=5,50+3,70=9,20,
R=\frac{10,175}{9,20}=1,106848, \qquad R^{2/3}\approx 1,0701,
f(5,50)=10,175\cdot 1,0701\approx 10,885.
Ainda abaixo de 11,073. Então b está entre 5,50 e 6,00.
  1. b=5,60\\ \mathrm{m}
A=1,85\cdot 5,60=10,360, \qquad P=5,60+3,70=9,30,
R=\frac{10,360}{9,30}=1,113978, \qquad R^{2/3}\approx 1,0747,
f(5,60)=10,360\cdot 1,0747\approx 11,136.
Agora f(5,60)>11,073. Logo b está entre 5,50 e 5,60.
  1. Refinando, b=5,55\\ \mathrm{m}
A=1,85\cdot 5,55=10,2675, \qquad P=5,55+3,70=9,25,
R=\frac{10,2675}{9,25}=1,109730, \qquad R^{2/3}\approx 1,0719,
f(5,55)=10,2675\cdot 1,0719\approx 11,010.
Agora 11,010<11,073. Então b está entre 5,55 e 5,60.
  1. Tentar b=5,57\\ \mathrm{m}
A=1,85\cdot 5,57=10,3045, \qquad P=5,57+3,70=9,27,
R=\frac{10,3045}{9,27}\approx 1,1110, \qquad R^{2/3}\approx 1,0728,
f(5,57)\approx 10,3045\cdot 1,0728\approx 11,057.
Ainda um pouco abaixo de 11,073.
  1. Tentar b=5,58\\ \mathrm{m}
A=1,85\cdot 5,58=10,3230, \qquad P=5,58+3,70=9,28,
R=\frac{10,3230}{9,28}\approx 1,1118, \qquad R^{2/3}\approx 1,0733,
f(5,58)\approx 10,3230\cdot 1,0733\approx 11,076.
Aqui f(5,58) é ligeiramente acima de 11,073.
  • Como f(5,57)\approx 11,057<11,073 e f(5,58)\approx 11,076>11,073, a solução fica entre 5,57 e 5,58. A aproximação com precisão de dois centésimos é b\approx 5,58\\ \mathrm{m} (ou com três cifras significativas b\approx 5,57\\ \mathrm{m}).

Passo 5

Interpretação e arredondamento final de acordo com prática de projeto.
  • Em projeto de galerias costuma-se informar a largura com duas casas decimais ou com 3 cifras significativas dependendo do nível. Tomando uma aproximação prática e conservadora, podemos adotar b=5,58\\ \mathrm{m}. Se preferir arredondar para menos detalhe técnico, b=5,57\\ \mathrm{m} também representa bem a solução numérica encontrada.

Resposta

b\approx 5,58\\ \mathrm{m}

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