Uma rede de difração com 20,0 mm de largura possui cem ranhuras. Uma luz com um comprimento de onda de 589 mm incide perpendicularmente na rede. Determine o maior valor de \theta para o qual são observados máximos em uma tela distante.

Passo 1

O enunciado pede o maior valor de \theta para o qual aparecem máximos de difração numa rede distante. Os dados fornecidos são:
  • Largura total da rede: 20,0\\ \mathrm{mm}.
  • Número de ranhuras (linhas) na rede: 100.
  • Comprimento de onda da luz: 589\\ \mathrm{nm}.
Vou listar os valores convertidos para o SI (porque é mais prático nas fórmulas):
  • W = 20,0\\ \mathrm{mm} = 20,0\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 2,00\times10^{-2}\\ \mathrm{m}.
  • N = 100.
  • \lambda = 589\\ \mathrm{nm} = 589\times10^{-9}\\ \mathrm{m} = 5,89\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
O que se pede: o maior ângulo \theta (medido desde a normal à rede) tal que exista algum máximo difratado observado.

Passo 2

Entender a geometria da rede: a separação entre ranhuras (constante de rede) chama-se d e é a largura total dividida pelo número de ranhuras (assumindo ranhuras uniformes ao longo da largura):
d=\frac{W}{N}.
Substituindo os valores:
d=\frac{2,00\times10^{-2}\\ \mathrm{m}}{100}=2,00\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Interpretação prática: d=2,00\times10^{-4}\\ \mathrm{m}=0,200\\ \mathrm{mm}.

Passo 3

Relembrando a condição de máximos de uma rede de difração: para incidência perpendicular, os máximos ocorrem quando a diferença de caminho entre ranhuras adjacentes é um número inteiro de comprimentos de onda. A fórmula é a clássica da rede:
d\sin\theta = m\lambda,
onde
  • d é a separação entre ranhuras (m),
  • \theta é o ângulo do máximo medido a partir da normal,
  • m é a ordem do máximo ( m=0,\pm1,\pm2,\ldots),
  • \lambda é o comprimento de onda (m).
Para que um máximo físico exista, o lado direito deve satisfazer |\sin\theta|\le 1. Assim, para cada m válido devemos ter
\left|\frac{m\lambda}{d}\right|\le 1.

Passo 4

Determinar quantos máximos cabem (i.e. o maior m inteiro com \sin\theta\le1). Calcular a razão d/\lambda e, invertendo, o número máximo de ordem permitido é o inteiro mais próximo por baixo de d/\lambda:
\frac{d}{\lambda}=\frac{2,00\times10^{-4}}{5,89\times10^{-7}}.
Calculemos:
\frac{d}{\lambda}\approx 339{,}385\ldots
Portanto o maior m inteiro que satisfaz a desigualdade é
m_{\max}=\left\lfloor\frac{d}{\lambda}\right\rfloor=339.
Explicação curta: m tem que ser inteiro; qualquer m>339 faria m\lambda/d>1 e não haveria \theta real.

Passo 5

Agora calculamos o ângulo correspondente a m_{\max}=339 usando a equação da rede:
\sin\theta_{\max}=\frac{m_{\max}\,\lambda}{d}=\frac{339\times5,89\times10^{-7}}{2,00\times10^{-4}}.
Calculemos o numerador e a razão (mantendo números significativos):
\sin\theta_{\max}\approx 339\times0{,}002945\approx 0{,}998355.
Verificamos que está dentro do intervalo [-1,1], portanto existe \theta_{\max} real. Agora obtemos \theta_{\max} pela função arco-seno:
\theta_{\max}=\arcsin(0{,}998355)\approx 86{,}7^\circ.
Comentário: o ângulo é muito grande porque estamos indo até ordens altas onde os máximos se aproximam da tangente da grade (próximo de 90^\circ), mas ainda físicos porque o argumento do seno é ligeiramente menor que 1.

Passo 6

Resumo físico e checagem final: o maior valor de \theta corresponde à ordem m=339 e dá um ângulo próximo de 86{,}7^\circ. Não existem ordens maiores porque a condição d\sin\theta=m\lambda não permite \sin\theta>1.

Resposta

\theta_{\max}\approx 86{,}7^\circ

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