Uma rede de difração com 20,0 mm de largura possui cem ranhuras. Uma luz com um comprimento de onda de 589 mm incide perpendicularmente na rede. Determine o maior valor de \theta para o qual são observados máximos em uma tela distante.
Passo 1
O enunciado pede o maior valor de \theta para o qual aparecem máximos de difração numa rede distante. Os dados fornecidos são:
Largura total da rede: 20,0\\ \mathrm{mm}.
Número de ranhuras (linhas) na rede: 100.
Comprimento de onda da luz: 589\\ \mathrm{nm}.
Vou listar os valores convertidos para o SI (porque é mais prático nas fórmulas):
W = 20,0\\ \mathrm{mm} = 20,0\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 2,00\times10^{-2}\\ \mathrm{m}.
O que se pede: o maior ângulo \theta (medido desde a normal à rede) tal que exista algum máximo difratado observado.
Passo 2
Entender a geometria da rede: a separação entre ranhuras (constante de rede) chama-se d e é a largura total dividida pelo número de ranhuras (assumindo ranhuras uniformes ao longo da largura):
Relembrando a condição de máximos de uma rede de difração: para incidência perpendicular, os máximos ocorrem quando a diferença de caminho entre ranhuras adjacentes é um número inteiro de comprimentos de onda. A fórmula é a clássica da rede:
d\sin\theta = m\lambda,
onde
d é a separação entre ranhuras (m),
\theta é o ângulo do máximo medido a partir da normal,
m é a ordem do máximo (m=0,\pm1,\pm2,\ldots),
\lambda é o comprimento de onda (m).
Para que um máximo físico exista, o lado direito deve satisfazer |\sin\theta|\le 1. Assim, para cada m válido devemos ter
\left|\frac{m\lambda}{d}\right|\le 1.
Passo 4
Determinar quantos máximos cabem (i.e. o maior m inteiro com \sin\theta\le1). Calcular a razão d/\lambda e, invertendo, o número máximo de ordem permitido é o inteiro mais próximo por baixo de d/\lambda:
Comentário: o ângulo é muito grande porque estamos indo até ordens altas onde os máximos se aproximam da tangente da grade (próximo de 90^\circ), mas ainda físicos porque o argumento do seno é ligeiramente menor que 1.
Passo 6
Resumo físico e checagem final: o maior valor de \theta corresponde à ordem m=339 e dá um ângulo próximo de 86{,}7^\circ. Não existem ordens maiores porque a condição d\sin\theta=m\lambda não permite \sin\theta>1.