Em uma rede de difração, qual o impacto no aumento da quantidade de fendas na largura do máximo, na dispersão e no resolução?

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar o efeito de aumentar a quantidade de fendas N de uma rede de difração sobre três coisas: (i) a largura do máximo principal, (ii) a dispersão e (iii) a resolução.
Informações implícitas que usamos: existem fendas espaçadas por uma distância d, iluminadas por luz de comprimento de onda \lambda, e observamos máximos de ordem m em ângulo \theta. Não é pedido um número, e sim a relação funcional entre N e cada uma das três quantidades.

Passo 2

Condição de máximos (equação da rede). Vou relembrar a derivação rápida porque ela é a base para tudo:
a diferença de caminho entre fendas adjacentes para um raio observado em ângulo \theta é d\sin\theta. Para que as ondas de todas as fendas interfiram construtivamente (máximo de ordem m) essa diferença deve ser um número inteiro de comprimentos de onda:
d\sin\theta = m\lambda
onde d é o espaçamento entre fendas, m\in\mathbb{Z} é a ordem do máximo, \lambda é o comprimento de onda e \theta é o ângulo de difração. Essa equação determina a posição angular dos máximos; é independente do número de fendas N.

Passo 3

Padrão de intensidade para N fendas e como apareceram os máximos e mínimos.
Ao somar as contribuições das N fendas (supondo fendas pontuais iguais), a intensidade angular é proporcional ao quadrado de uma soma geométrica de fases; o resultado padrão é
I(\theta) = I_0\left(\frac{\sin\!\big(\tfrac{N\varphi}{2}\big)}{\sin\!\big(\tfrac{\varphi}{2}\big)}\right)^{\!2},
onde \varphi é a diferença de fase entre fendas adjacentes dada por
\varphi = \frac{2\pi}{\lambda}\,d\sin\theta.
Explicando: I_0 é a intensidade de uma fenda isolada (constante de escala). Os máximos principais ocorrem quando o denominador e o numerador simultaneamente se anulam de forma apropriada, i.e. quando \varphi = 2\pi m (mesma condição da equação da rede).

Passo 4

Largura angular do máximo principal em função de N.
Os mínimos mais próximos de um máximo principal ocorrem quando o numerador zera, isto é quando
\frac{N\varphi}{2} = \pm \pi,\pm 2\pi,\dots
o primeiro par de zeros ao redor do máximo m dá a largura do pico. Considerando o máximo central m=0, o primeiro mínimo está em
\varphi = \pm \frac{2\pi}{N}.
Agora convertemos variação de fase \Delta\varphi em variação angular \Delta\theta. Para pequenas variações ao redor de \theta usamos a aproximação linear:
\Delta\varphi \approx \frac{2\pi}{\lambda}\,d\cos\theta\;\Delta\theta.
Tomando \Delta\varphi = \tfrac{2\pi}{N} obtemos
\Delta\theta \approx \frac{\lambda}{d\cos\theta}\cdot\frac{1}{N}.
Para ângulos pequenos ( \theta\approx 0) simplifica para
\Delta\theta \approx \frac{\lambda}{d\,N}.
Interpretação clara: a largura angular do máximo principal diminui como 1/N. Ou seja, ao aumentar N os máximos ficam mais estreitos e mais “afiados”.

Passo 5

Dispersão angular e sua dependência de N.
A dispersão angular D diz quanto o ângulo \theta muda quando \lambda muda, ou seja D=\dfrac{d\theta}{d\lambda}. A partir da equação da rede d\sin\theta=m\lambda diferenciamos:
d\cos\theta\;d\theta = m\;d\lambda.
Logo a dispersão angular é
D=\frac{d\theta}{d\lambda}=\frac{m}{d\cos\theta}.
Observação importante: D não contém N. Portanto o aumento do número de fendas N não altera a dispersão angular intrínseca da rede. (A dispersão linear na posição de uma tela depende do comprimento focal do sistema, mas também não depende de N.)

Passo 6

Resolução da rede e sua relação com N (critério de Rayleigh).
O critério de Rayleigh diz que duas linhas de comprimentos de onda \lambda e \lambda+\Delta\lambda são resolvíveis se o máximo de uma coincide com o primeiro mínimo da outra. Usando a condição para máximos d\sin\theta=m\lambda e a condição para o primeiro mínimo deslocado por N fendas (como no Passo 4) chega-se à variação mínima de comprimento de onda resolvível
\Delta\lambda_{\min} = \frac{\lambda}{mN}.
Dessa forma a potência resolvente (resolving power) da rede é
R=\frac{\lambda}{\Delta\lambda_{\min}}=mN.
Interpretação: a resolução aumenta linearmente com o número de fendas N e também cresce com a ordem m. Logo, mais fendas → maior resolução.

Passo 7

Resumo físico e intuição (pra te motivar):
  • Largura do máximo: diminui com N (escala 1/N). Mais fendas → máximos mais estreitos e pontiagudos.
  • Dispersão: independe de N; é determinada por d e pela ordem m via D=\dfrac{m}{d\cos\theta}.
  • Resolução: aumenta com N (proporcional a N); a resolução da rede é R=mN.
    Em palavras: adicionar fendas não muda onde os picos se deslocam com a cor (dispersão), mas torna os picos mais finos e, portanto, permite separar comprimentos de onda mais próximos (melhora a resolução).

Resposta

Aumentar N faz a largura do máximo principal diminuir aproximadamente como \Delta\theta\approx \dfrac{\lambda}{d\,N} (mais estreito: \propto 1/N).
A dispersão angular D=\dfrac{d\theta}{d\lambda}=\dfrac{m}{d\cos\theta} não depende de N (portanto sem efeito).
A resolução (poder resolvente) aumenta linearmente com N: R=\dfrac{\lambda}{\Delta\lambda_{\min}}=mN.

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