Em uma rede de difração, qual o impacto no aumento da quantidade de fendas na largura do máximo, na dispersão e no resolução?
Passo 1
O que o enunciado pede: explicar o efeito de aumentar a quantidade de fendas
de uma rede de difração sobre três coisas: (i) a largura do máximo principal, (ii) a dispersão e (iii) a resolução.
Informações implícitas que usamos: existem fendas espaçadas por uma distância , iluminadas por luz de comprimento de onda
, e observamos máximos de ordem
em ângulo
. Não é pedido um número, e sim a relação funcional entre
e cada uma das três quantidades.
Informações implícitas que usamos: existem fendas espaçadas por uma distância
Passo 2
Condição de máximos (equação da rede). Vou relembrar a derivação rápida porque ela é a base para tudo:
a diferença de caminho entre fendas adjacentes para um raio observado em ângulo é
. Para que as ondas de todas as fendas interfiram construtivamente (máximo de ordem
) essa diferença deve ser um número inteiro de comprimentos de onda:
a diferença de caminho entre fendas adjacentes para um raio observado em ângulo
onde
é o espaçamento entre fendas,
é a ordem do máximo,
é o comprimento de onda e
é o ângulo de difração. Essa equação determina a posição angular dos máximos; é independente do número de fendas
.
Passo 3
Padrão de intensidade para
fendas e como apareceram os máximos e mínimos.
Ao somar as contribuições das fendas (supondo fendas pontuais iguais), a intensidade angular é proporcional ao quadrado de uma soma geométrica de fases; o resultado padrão é
Ao somar as contribuições das
onde
é a diferença de fase entre fendas adjacentes dada por
Explicando:
é a intensidade de uma fenda isolada (constante de escala). Os máximos principais ocorrem quando o denominador e o numerador simultaneamente se anulam de forma apropriada, i.e. quando
(mesma condição da equação da rede).
Passo 4
Largura angular do máximo principal em função de
.
Os mínimos mais próximos de um máximo principal ocorrem quando o numerador zera, isto é quando
Os mínimos mais próximos de um máximo principal ocorrem quando o numerador zera, isto é quando
o primeiro par de zeros ao redor do máximo
dá a largura do pico. Considerando o máximo central
, o primeiro mínimo está em
Agora convertemos variação de fase
em variação angular
. Para pequenas variações ao redor de
usamos a aproximação linear:
Tomando
obtemos
Para ângulos pequenos (
) simplifica para
Interpretação clara: a largura angular do máximo principal diminui como
. Ou seja, ao aumentar
os máximos ficam mais estreitos e mais “afiados”.
Passo 5
Dispersão angular e sua dependência de
.
A dispersão angular diz quanto o ângulo
muda quando
muda, ou seja
. A partir da equação da rede
diferenciamos:
A dispersão angular
Logo a dispersão angular é
Observação importante:
não contém
. Portanto o aumento do número de fendas
não altera a dispersão angular intrínseca da rede. (A dispersão linear na posição de uma tela depende do comprimento focal do sistema, mas também não depende de
.)
Passo 6
Resolução da rede e sua relação com
(critério de Rayleigh).
O critério de Rayleigh diz que duas linhas de comprimentos de onda e
são resolvíveis se o máximo de uma coincide com o primeiro mínimo da outra. Usando a condição para máximos
e a condição para o primeiro mínimo deslocado por
fendas (como no Passo 4) chega-se à variação mínima de comprimento de onda resolvível
O critério de Rayleigh diz que duas linhas de comprimentos de onda
Dessa forma a potência resolvente (resolving power) da rede é
Interpretação: a resolução aumenta linearmente com o número de fendas
e também cresce com a ordem
. Logo, mais fendas → maior resolução.
Passo 7
Resumo físico e intuição (pra te motivar):
- Largura do máximo: diminui com
(escala ). Mais fendas → máximos mais estreitos e pontiagudos. - Dispersão: independe de
; é determinada por e pela ordem via . - Resolução: aumenta com
(proporcional a ); a resolução da rede é .
Em palavras: adicionar fendas não muda onde os picos se deslocam com a cor (dispersão), mas torna os picos mais finos e, portanto, permite separar comprimentos de onda mais próximos (melhora a resolução).
Resposta
Aumentar
faz a largura do máximo principal diminuir aproximadamente como
(mais estreito:
).
A dispersão angular não depende de
(portanto sem efeito).
A resolução (poder resolvente) aumenta linearmente com :
.
A dispersão angular
A resolução (poder resolvente) aumenta linearmente com