A luz proveniente de uma amostra de química e esse material emite ondas eletromagnéticas com comprimento de onda de \lambda=593 \mathrm{~nm} e \lambda=597,5 \mathrm{~nm}. Qual seria a quantidade mínima de linhas na rede de difração para se separar esses comprimentos de onda?

Passo 1

O enunciado dá duas linhas espectrais emitidas pela amostra com comprimentos de onda \lambda_1=593~\mathrm{nm} e \lambda_2=597{,}5~\mathrm{nm}. A pergunta é: qual a quantidade mínima de linhas na rede de difração para separar (resolver) essas duas linhas?
Informações relevantes listadas:
  • \lambda_1=593~\mathrm{nm}.
  • \lambda_2=597{,}5~\mathrm{nm}.
  • Queremos o número mínimo de linhas da rede (ou seja, o número de ranhuras/linhas iluminadas) que permita distinguir essas duas linhas espectrais.

Passo 2

Entendendo o conceito que precisamos usar (aula rápida e prática). Para uma rede de difração, a capacidade de distinguir duas linhas próximas é dada pelo poder de resolução da rede. O critério de resolução (o chamado poder de resolução) é:
R=\frac{\lambda}{\Delta\lambda}=mN
Expliquei cada símbolo:
  • \lambda é o comprimento de onda em torno do qual estamos medindo a capacidade de resolução (tipicamente usamos o comprimento de onda médio das linhas que queremos separar).
  • \Delta\lambda é a diferença entre os dois comprimentos de onda que queremos separar. Aqui \Delta\lambda=|\lambda_2-\lambda_1|.
  • m é a ordem de difração (um número inteiro: m=1,2,\dots). A ordem m aparece porque máximos de ordens maiores têm maior poder de resolução.
  • N é o número de linhas (ranhuras) iluminadas na rede — é o que o problema pede.
    Intuição simples: para separar duas linhas com diferença \Delta\lambda precisamos que R\ge \lambda/\Delta\lambda. A igualdade R=mN é a propriedade da rede.

Passo 3

Decisão prática: qual \lambda usar na razão \lambda/\Delta\lambda e que ordem m escolher?
  • Para \lambda usamos o comprimento de onda médio das duas linhas (isso é padrão quando as duas linhas estão próximas): \lambda_{\text{médio}}=(\lambda_1+\lambda_2)/2é.
  • Sobre m: o enunciado não especifica a ordem. Na prática experimental costuma-se considerar a primeira ordem ( m=1) como referência porque é a mais forte e a escolha mais conservadora para especificar quantas linhas são necessárias. Usando m=1 obtemos o número mínimo de linhas que a rede precisa ter no sentido de projeto habitual (se você trabalhar em ordens maiores, N exigida diminui proporcionalmente, mas isso depende do equipamento e da intensidade das ordens superiores). Portanto vou calcular para m=1 — se alguém quiser usar m>1, basta dividir o resultado por m.

Passo 4

Calculemos \Delta\lambda e \lambda_{\text{médio}}é.
\Delta\lambda=\lambda_2-\lambda_1=597{,}5~\mathrm{nm}-593~\mathrm{nm}=4{,}5~\mathrm{nm}.
\lambda_{\text{médio}}=\frac{\lambda_1+\lambda_2}{2}=\frac{593+597{,}5}{2}~\mathrm{nm}=\;595{,}25~\mathrm{nm}.é

Passo 5

Aplicamos a fórmula do poder de resolução para achar N. Com m=1 temos:
R=\frac{\lambda_{\text{médio}}}{\Delta\lambda}=mN=1\cdot N,é
portanto
N=\frac{\lambda_{\text{médio}}}{\Delta\lambda}=\frac{595{,}25~\mathrm{nm}}{4{,}5~\mathrm{nm}}.é

Passo 6

Façamos a divisão e interpretemos o resultado (sem pular etapas):
\frac{595{,}25}{4{,}5}=132{,}277\ldots
Isso significa que o produto mN precisa ser pelo menos 132{,}277\ldots. Como N é número de linhas e deve ser inteiro, precisamos arredondar para cima (porque se tivéssemos, por exemplo, 132 linhas, mN=132 seria insuficiente). Logo o menor N inteiro que satisfaz é
N_{\min}=133.

Resposta

133 linhas

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