Uma rede de lanchonetes não permite que duas de suas lojas estejam a menos de 25 km de distância. Se há uma loja da rede no quilômetro 67 de uma estrada, em que parte da mesma estrada é permitida a instalação de outra lanchonete da rede?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está entre elas:
- Há uma loja da rede localizada no quilômetro
da estrada. - A rede não permite que duas lojas fiquem a menos de
km de distância (ou seja, a distância entre duas lojas deve ser pelo menos km).
O que o enunciado pede: determinar em que parte da mesma estrada é permitida a instalação de outra lanchonete da rede (ou seja, quais posições ao longo da reta-estrada respeitam a restrição de distância).
Passo 2
Modelagem do problema com coordenadas e distância na reta:
- Representa-se qualquer ponto da estrada por um número real
que indica o quilômetro onde a nova loja poderia ficar. - A distância entre o ponto
e a loja existente em é dada por (o valor absoluto mede a distância entre dois pontos na reta). - A condição “não estar a menos de
km” traduz-se matematicamente em:
Explicação do conceito usado:
significa "a distância entre
e
". A desigualdade
exige que essa distância seja no mínimo
km (igual a
é permitido; menor que
é proibido).
Passo 3
Como resolver a desigualdade com valor absoluto:
- Regra geral: para qualquer número real
e qualquer ,
- Aplicando com
e , obtemos as duas desigualdades equivalentes:
Passo 4
Resolver cada desigualdade simples:
- Da primeira:
. Somando aos dois lados:
- Da segunda:
. Somando aos dois lados:
Verificação rápida dos pontos-limite: a distância de
até
é
e até
é
, portanto esses pontos são permitidos (igual a
é aceitável).
Passo 5
Interpretação em palavras e lembrete prático:
- Qualquer nova loja deve ficar a pelo menos
km da loja no km . - Portanto a nova loja pode ser instalada em qualquer quilômetro menor ou igual a
(antes do km ) ou em qualquer quilômetro maior ou igual a (a partir do km ). - Em linguagem de intervalos, isso corresponde à união de duas metades da reta: uma à esquerda do
(incluindo ) e outra à direita do (incluindo ).