Uma rede de lanchonetes não permite que duas de suas lojas estejam a menos de 25 km de distância. Se há uma loja da rede no quilômetro 67 de uma estrada, em que parte da mesma estrada é permitida a instalação de outra lanchonete da rede?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está entre elas:
  • Há uma loja da rede localizada no quilômetro \,67 da estrada.
  • A rede não permite que duas lojas fiquem a menos de \,25 km de distância (ou seja, a distância entre duas lojas deve ser pelo menos \,25 km).
    O que o enunciado pede: determinar em que parte da mesma estrada é permitida a instalação de outra lanchonete da rede (ou seja, quais posições ao longo da reta-estrada respeitam a restrição de distância).

Passo 2

Modelagem do problema com coordenadas e distância na reta:
  • Representa-se qualquer ponto da estrada por um número real x que indica o quilômetro onde a nova loja poderia ficar.
  • A distância entre o ponto x e a loja existente em \,67 é dada por \,|x-67| (o valor absoluto mede a distância entre dois pontos na reta).
  • A condição “não estar a menos de \,25 km” traduz-se matematicamente em:
|x-67|\ge 25.
Explicação do conceito usado: |x-67| significa "a distância entre x e 67". A desigualdade |x-67|\ge25 exige que essa distância seja no mínimo \,25 km (igual a \,25 é permitido; menor que \,25 é proibido).

Passo 3

Como resolver a desigualdade com valor absoluto:
  • Regra geral: para qualquer número real a e qualquer b\ge0,
|a|\ge b \quad\Longleftrightarrow\quad a\le -b \quad\text{ou}\quad a\ge b.
  • Aplicando com a=x-67 e b=25, obtemos as duas desigualdades equivalentes:
x-67\le -25 \quad\text{ou}\quad x-67\ge 25.

Passo 4

Resolver cada desigualdade simples:
  • Da primeira: x-67\le -25. Somando 67 aos dois lados:
x\le 67-25 \quad\Rightarrow\quad x\le 42.
  • Da segunda: x-67\ge 25. Somando 67 aos dois lados:
x\ge 67+25 \quad\Rightarrow\quad x\ge 92.
Verificação rápida dos pontos-limite: a distância de 67 até 42 é |42-67|=25 e até 92 é |92-67|=25, portanto esses pontos são permitidos (igual a 25 é aceitável).

Passo 5

Interpretação em palavras e lembrete prático:
  • Qualquer nova loja deve ficar a pelo menos \,25 km da loja no km \,67.
  • Portanto a nova loja pode ser instalada em qualquer quilômetro menor ou igual a \,42 (antes do km \,42) ou em qualquer quilômetro maior ou igual a \,92 (a partir do km \,92).
  • Em linguagem de intervalos, isso corresponde à união de duas metades da reta: uma à esquerda do \,42 (incluindo \,42) e outra à direita do \,92 (incluindo \,92).

Resposta

(-\infty,\,42]\cup[92,\,\infty)

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