Um redutor planetário tem entrada de movimento pela engrenagem solar girando a 2.800 rpm . Se a engrenagem solar possui 32 dentes e as planetárias possuem 37 dentes cada, pergunta-se:
Quantos dentes deve ter a engrenagem anelar?
Se a engrenagem anelar é fixa, por onde se dá o movimento de saída? Neste caso, qual a relação de transmissão e a rpm na saída?
Caso o movimento de saída fosse pela engrenagem anelar, qual a RT e a rpm na saída?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (pego do enunciado):
  • Velocidade de entrada (engrenagem solar): \;2800\\ \text{rpm}.
  • Número de dentes da engrenagem solar: \;Z_s=32.
  • Número de dentes de cada engrenagem planetária: \;Z_p=37.
O enunciado pergunta:
  1. Quantos dentes deve ter a engrenagem anelar ( Z_r)?
  2. Se a engrenagem anelar estiver fixa, por onde sai o movimento? Nesse caso qual a relação de transmissão (RT) e qual a rotação na saída (rpm)?
  3. Se o movimento de saída fosse pela engrenagem anelar (assumindo a configuração apropriada), qual a RT e qual a rotação na saída (rpm)?

Passo 2

Primeiro precisamos achar quantos dentes tem a anelar Z_r.
Explicação didática (por que existe uma relação entre os dentes): em conjuntos planetários com anelar interno, solar e planetas devem encaixar geometricamente. O número de dentes está proporcional ao diâmetro primitivo. Pela geometria de engrenagens (e pelo requisito de que os planetas engrenem tanto com o solar quanto com o anelar, com espaçamento regular), vale a relação clássica para um simples conjunto planetário:
Z_r = Z_s + 2Z_p.
Aqui:
  • Z_r = nº de dentes do anelar (interno),
  • Z_s = nº de dentes do solar,
  • Z_p = nº de dentes de cada planetária.
Intuição curta: o anelar interno envolve os planetas que, quando somados dois lados (um lado para cada planeta oposto), precisam “compensar” o diâmetro do solar mais duas vezes o diâmetro do planeta para manter espaçamento e permitir montagem com planetas simétricos.

Passo 3

Aplicando a fórmula com os valores dados:
Z_r = Z_s + 2Z_p = 32 + 2\cdot 37 = 32 + 74 = 106.
Portanto a engrenagem anelar deve ter \;106 dentes.

Passo 4

Agora vamos tratar das relações de velocidades em um conjunto planetário. Vou definir as velocidades angulares (em rpm ou em rad/s, o raciocínio é o mesmo):
  • \omega_s: velocidade da engrenagem solar (entrada).
  • \omega_r: velocidade da engrenagem anelar.
  • \omega_c: velocidade do porta-planetárias (carrier) — é por onde normalmente sai o movimento quando o anelar está fixo.
Existe uma relação muito usada (fórmula de Willis) que relaciona as velocidades e os números de dentes:
(\omega_s-\omega_c)\,Z_s + (\omega_r-\omega_c)\,Z_r = 0.
Explicando a fórmula: cada termo (\omega_x-\omega_c)Z_x representa o giro relativo entre aquela roda ( x) e o carrier multiplicado pelo número de dentes — a soma deve ser zero porque as rotações relativas produzem deslocamentos de dentes que se compensam ao redor do conjunto. É uma forma compacta de expressar as condições de engrenamento sem detalhar cada velocidade do planeta. Nesta fórmula:
  • sinais positivos/negativos indicam sentidos relativos; a fórmula já engloba inversões de sentido por encaixe interno/externo.
A partir dessa expressão conseguimos isolar várias situações definidas pelas condições de fixação (ex.: anelar fixo ou carrier fixo).

Passo 5

Caso A: anelar fixo ( \omega_r=0). Pergunta: por onde se dá o movimento de saída?
Resposta direta (explicação): quando o anelar está preso, o único elemento livre para receber movimento do solar é o porta-planetárias (carrier). Logo a saída se dá pelo carrier \omega_c.
Agora a RT e a rpm de saída. Aplique \omega_r=0 na fórmula de Willis:
(\omega_s-\omega_c)\,Z_s + (0-\omega_c)\,Z_r = 0.
Desenvolvendo:
\omega_s Z_s - \omega_c Z_s - \omega_c Z_r = 0
\omega_s Z_s = \omega_c (Z_s + Z_r)
Isolando \omega_c:
\omega_c = \omega_s \cdot \frac{Z_s}{Z_s+Z_r}.
Aqui a relação de transmissão (definirei RT como a razão entre a velocidade de saída e a velocidade de entrada) é
\text{RT} = \frac{\omega_{\text{out}}}{\omega_{\text{in}}} = \frac{\omega_c}{\omega_s} = \frac{Z_s}{Z_s+Z_r}.
Substituindo os números ( Z_s=32, Z_r=106):
\frac{\omega_c}{\omega_s} = \frac{32}{32+106} = \frac{32}{138} = \frac{16}{69}\approx 0{,}231884.
Portanto a rotação de saída (carrier) em rpm é:
\omega_c = 2800\\ \text{rpm}\times\frac{16}{69}\approx 649{,}275\\ \text{rpm}.
Direção (sentido): o valor ficou positivo, ou seja o carrier gira no mesmo sentido do solar (não invertemos o sentido quando o anelar está fixo neste arranjo).

Passo 6

Caso B: saída pela engrenagem anelar. Aqui precisamos explicitar qual elemento é fixo: para dizer a RT entre solar (entrada) e anelar (saída) é usual considerar o carrier fixo ( \omega_c=0), porque se o carrier também girar não há uma relação direta simples sem especificar o que está fixo. Vou assumir portanto que o carrier está preso e o anelar é livre como saída (essa é a escolha padrão para obter a relação entre solar e anelar).
Usando a fórmula de Willis com \omega_c=0:
(\omega_s-0)\,Z_s + (\omega_r-0)\,Z_r = 0 \quad\Rightarrow\quad \omega_s Z_s + \omega_r Z_r = 0.
Isolando \omega_r:
\omega_r = -\,\omega_s\cdot\frac{Z_s}{Z_r}.
A razão de transmissão (saída/entrada) é então
\text{RT} = \frac{\omega_{\text{out}}}{\omega_{\text{in}}} = \frac{\omega_r}{\omega_s} = -\,\frac{Z_s}{Z_r}.
O sinal negativo indica que o anelar gira em sentido oposto ao do solar (inversão de sentido devido ao tipo de engrenamento).
Substituindo valores ( Z_s=32, Z_r=106):
\frac{\omega_r}{\omega_s} = -\frac{32}{106} = -\frac{16}{53}\approx -0{,}301887.
Portanto a rotação da anelar será
\omega_r = 2800\\ \text{rpm}\times\left(-\frac{16}{53}\right) \approx -845{,}283\\ \text{rpm}.
Interpretação numérica: o anelar gira com aproximadamente 845{,}3\\ \text{rpm} no sentido contrário ao do solar.

Passo 7

Recapitulando de forma clara e prática (sem novas contas):
  • O anelar tem Z_r=106 dentes.
  • Com o anelar fixo, a saída ocorre pelo carrier; a RT (saída/entrada) é \dfrac{16}{69}\approx0{,}231884 e a saída é \approx649{,}28\\ \text{rpm} no mesmo sentido do solar.
  • Se quisermos a saída no anelar (assumindo carrier preso), a RT é -\dfrac{16}{53}\approx-0{,}301887 e a saída em módulo é \approx845{,}28\\ \text{rpm} em sentido oposto ao do solar.

Resposta

Z_r=106
Com o anelar fixo: saída pelo porta-planetárias (carrier); \text{RT}=\dfrac{\omega_c}{\omega_s}=\dfrac{16}{69}\approx0{,}231884; \omega_c\approx649{,}28\\ \text{rpm} (mesmo sentido do solar)
Saída pela anelar (assumindo carrier fixo): \text{RT}=\dfrac{\omega_r}{\omega_s}=-\dfrac{16}{53}\approx-0{,}301887; \omega_r\approx-845{,}28\\ \text{rpm} (sinal negativo = sentido oposto ao do solar)

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