Um redutor planetário tem entrada de movimento pela engrenagem solar girando a 2.800 rpm . Se a engrenagem solar possui 32 dentes e as planetárias possuem 37 dentes cada, pergunta-se:
Quantos dentes deve ter a engrenagem anelar?
Se a engrenagem anelar é fixa, por onde se dá o movimento de saída? Neste caso, qual a relação de transmissão e a rpm na saída?
Caso o movimento de saída fosse pela engrenagem anelar, qual a RT e a rpm na saída?
Se a engrenagem anelar é fixa, por onde se dá o movimento de saída? Neste caso, qual a relação de transmissão e a rpm na saída?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (pego do enunciado):
- Velocidade de entrada (engrenagem solar):
. - Número de dentes da engrenagem solar:
. - Número de dentes de cada engrenagem planetária:
.
O enunciado pergunta:
- Quantos dentes deve ter a engrenagem anelar (
)? - Se a engrenagem anelar estiver fixa, por onde sai o movimento? Nesse caso qual a relação de transmissão (RT) e qual a rotação na saída (rpm)?
- Se o movimento de saída fosse pela engrenagem anelar (assumindo a configuração apropriada), qual a RT e qual a rotação na saída (rpm)?
Passo 2
Primeiro precisamos achar quantos dentes tem a anelar
.
Explicação didática (por que existe uma relação entre os dentes): em conjuntos planetários com anelar interno, solar e planetas devem encaixar geometricamente. O número de dentes está proporcional ao diâmetro primitivo. Pela geometria de engrenagens (e pelo requisito de que os planetas engrenem tanto com o solar quanto com o anelar, com espaçamento regular), vale a relação clássica para um simples conjunto planetário:
Aqui:
-
= nº de dentes do anelar (interno), -
= nº de dentes do solar, -
= nº de dentes de cada planetária.
Intuição curta: o anelar interno envolve os planetas que, quando somados dois lados (um lado para cada planeta oposto), precisam “compensar” o diâmetro do solar mais duas vezes o diâmetro do planeta para manter espaçamento e permitir montagem com planetas simétricos.
Passo 3
Aplicando a fórmula com os valores dados:
Portanto a engrenagem anelar deve ter
dentes.
Passo 4
Agora vamos tratar das relações de velocidades em um conjunto planetário. Vou definir as velocidades angulares (em rpm ou em rad/s, o raciocínio é o mesmo):
-
: velocidade da engrenagem solar (entrada). -
: velocidade da engrenagem anelar. -
: velocidade do porta-planetárias (carrier) — é por onde normalmente sai o movimento quando o anelar está fixo.
Existe uma relação muito usada (fórmula de Willis) que relaciona as velocidades e os números de dentes:
Explicando a fórmula: cada termo
representa o giro relativo entre aquela roda (
) e o carrier multiplicado pelo número de dentes — a soma deve ser zero porque as rotações relativas produzem deslocamentos de dentes que se compensam ao redor do conjunto. É uma forma compacta de expressar as condições de engrenamento sem detalhar cada velocidade do planeta. Nesta fórmula:
- sinais positivos/negativos indicam sentidos relativos; a fórmula já engloba inversões de sentido por encaixe interno/externo.
A partir dessa expressão conseguimos isolar várias situações definidas pelas condições de fixação (ex.: anelar fixo ou carrier fixo).
Passo 5
Caso A: anelar fixo (
). Pergunta: por onde se dá o movimento de saída?
Resposta direta (explicação): quando o anelar está preso, o único elemento livre para receber movimento do solar é o porta-planetárias (carrier). Logo a saída se dá pelo carrier
.
Agora a RT e a rpm de saída. Aplique
na fórmula de Willis:
Desenvolvendo:
Isolando
:
Aqui a relação de transmissão (definirei RT como a razão entre a velocidade de saída e a velocidade de entrada) é
Substituindo os números (
,
):
Portanto a rotação de saída (carrier) em rpm é:
Direção (sentido): o valor ficou positivo, ou seja o carrier gira no mesmo sentido do solar (não invertemos o sentido quando o anelar está fixo neste arranjo).
Passo 6
Caso B: saída pela engrenagem anelar. Aqui precisamos explicitar qual elemento é fixo: para dizer a RT entre solar (entrada) e anelar (saída) é usual considerar o carrier fixo (
), porque se o carrier também girar não há uma relação direta simples sem especificar o que está fixo. Vou assumir portanto que o carrier está preso e o anelar é livre como saída (essa é a escolha padrão para obter a relação entre solar e anelar).
Usando a fórmula de Willis com
:
Isolando
:
A razão de transmissão (saída/entrada) é então
O sinal negativo indica que o anelar gira em sentido oposto ao do solar (inversão de sentido devido ao tipo de engrenamento).
Substituindo valores (
,
):
Portanto a rotação da anelar será
Interpretação numérica: o anelar gira com aproximadamente
no sentido contrário ao do solar.
Passo 7
Recapitulando de forma clara e prática (sem novas contas):
- O anelar tem
dentes. - Com o anelar fixo, a saída ocorre pelo carrier; a RT (saída/entrada) é
e a saída é no mesmo sentido do solar. - Se quisermos a saída no anelar (assumindo carrier preso), a RT é
e a saída em módulo é em sentido oposto ao do solar.
Resposta
Com o anelar fixo: saída pelo porta-planetárias (carrier);
;
(mesmo sentido do solar)
Saída pela anelar (assumindo carrier fixo):
;
(sinal negativo = sentido oposto ao do solar)