Reduza as equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem abaixo à equações de primeira ordem e resolva as mesmas:
y y^{\prime \prime}=y^{2} y^{\prime}+\left(y^{\prime}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede: reduzir a equação diferencial ordinária de segunda ordem
y\,y^{\prime\prime}=y^{2}y^{\prime}+(y^{\prime})^{2}
a equações de primeira ordem e resolver essas equações.
Informações dadas e objetos envolvidos:
  • A incógnita é a função y=y(x).
  • A equação envolve y, y' (derivada de y em relação a x) e y'' (segunda derivada).
  • Não há dependência explícita de x na equação (variável independente aparece apenas indiretamente).
  • Precisamos encontrar todas as soluções (constantes e não-constantes), isto é, a família geral de soluções com as constantes de integração.

Passo 2

Estratégia inicial (técnica padrão): quando a variável independente x não aparece explicitamente, é útil fazer a substituição
p(y)=\frac{dy}{dx}=y^{\prime},
ou seja, tratar p como função de y. Então usamos a regra da cadeia para reescrever y'' em termos de p e y. A regra da cadeia diz:
\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}.
Como \frac{dy}{dx}=p, obtemos
y^{\prime\prime}=\frac{dp}{dx}=p\,\frac{dp}{dy}.
Isto reduz a equação de segunda ordem a uma equação envolvendo p e y.

Passo 3

Substituindo y''=p\,\dfrac{dp}{dy} e y'=p na equação original:
y\left(p\,\frac{dp}{dy}\right)=y^{2}p+p^{2}.
Factorizando p no lado direito e no lado esquerdo:
p\left(y\frac{dp}{dy}\right)=p\left(y^{2}+p\right).
Assim
p\Bigl(y\frac{dp}{dy}-y^{2}-p\Bigr)=0.
Deste produto, temos duas possibilidades que geram soluções distintas: p=0 ou y\frac{dp}{dy}-p=y^{2}.

Passo 4

Caso 1: p=0. Isto significa \dfrac{dy}{dx}=0, logo y é constante. Portanto
y(x)=C_{0},
com C_{0} constante arbitrária. Verificação rápida: se y é constante então y'=y''=0 e a equação é satisfeita. Então todas as funções constantes são soluções.

Passo 5

Caso 2: p\neq0. Divide-se por p e fica
y\frac{dp}{dy}=y^{2}+p.
Rearranjando para colocar como uma equação linear em p (com variável independente y):
\frac{dp}{dy}-\frac{1}{y}p=y.
Isto é uma equação linear de primeira ordem na função p(y). Vamos resolver por fator integrante.

Passo 6

Equação linear do tipo \dfrac{dp}{dy}+a(y)p=b(y) tem fator integrante \mu(y)=\exp\!\bigl(\int a(y)\,dy\bigr). Aqui a(y)=-\dfrac{1}{y}, então
\mu(y)=\exp\!\left(\int -\frac{1}{y}\,dy\right)=\exp\!\bigl(-\ln|y|\bigr)=\frac{1}{y}\quad(\text{para }y\neq0).
Multiplicando a equação por \mu(y)=1/y obtemos
\frac{1}{y}\frac{dp}{dy}-\frac{1}{y^{2}}p=1.
O lado esquerdo é a derivada de \dfrac{p}{y} em relação a y, ou seja
\frac{d}{dy}\!\left(\frac{p}{y}\right)=1.
Integrando em y,
\frac{p}{y}=y+C_{1},
onde C_{1} é constante de integração. Portanto
p=y^{2}+C_{1}y.

Passo 7

Voltando à variável original x, lembrando que p=\dfrac{dy}{dx}, temos a equação de primeira ordem
\frac{dy}{dx}=y^{2}+C_{1}y=y(y+C_{1}).
Esta é uma equação separável. Vamos separá-la e integrar. Primeiro tratamos o subcaso C_{1}=0.

Passo 8

Subcaso C_{1}=0: a equação fica
\frac{dy}{dx}=y^{2}.
Isto é separável: \dfrac{dy}{y^{2}}=dx. Integrando,
\int y^{-2}\,dy=\int dx \quad\Rightarrow\quad -\frac{1}{y}=x+C_{2}.
Logo
y(x)=-\frac{1}{x+C_{2}},
onde C_{2} é constante de integração. Note que esta família inclui soluções não-constantes. (A solução constante y\equiv0 também existe e igualmente está coberta pelo caso geral de constantes visto no Passo 4.)

Passo 9

Subcaso C_{1}\neq0: separamos variáveis:
\frac{dy}{y(y+C_{1})}=dx.
Fazemos frações parciais na função de y:
\frac{1}{y(y+C_{1})}=\frac{1}{C_{1}}\left(\frac{1}{y}-\frac{1}{y+C_{1}}\right).
Integrando ambos os lados:
\int\frac{dy}{y(y+C_{1})}=\frac{1}{C_{1}}\int\left(\frac{1}{y}-\frac{1}{y+C_{1}}\right)dy =\frac{1}{C_{1}}\ln\left|\frac{y}{y+C_{1}}\right| = x+C_{2},
onde C_{2} é constante de integração. Multiplicando por C_{1} e exponenciando:
\ln\left|\frac{y}{y+C_{1}}\right|=C_{1}x+C_{3}\quad\Rightarrow\quad \frac{y}{y+C_{1}}=K e^{C_{1}x},
com K=\pm e^{C_{3}} constante arbitrária não nula em geral. Isolando y:
y(1-Ke^{C_{1}x})=K C_{1}e^{C_{1}x}\quad\Rightarrow\quad y(x)=\frac{K C_{1}e^{C_{1}x}}{1-Ke^{C_{1}x}}.
Aqui C_{1} e K são constantes arbitrárias (duas constantes, como se espera para uma EDO de segunda ordem). Podemos renomear constantes se preferir; por exemplo escrevendo A=C_{1} e B=K.

Passo 10

Resumo das famílias de soluções encontradas (lembrando de incluir as constantes perdidas ao dividir por p):
  • Todas as funções constantes y(x)=C_{0} são soluções (obtidas no Passo 4).
  • Famílias não-constantes obtidas quando p\neq0:
    • Se C_{1}=0: y(x)=-\dfrac{1}{x+C_{2}}.
    • Se C_{1}\neq0: y(x)=\dfrac{K C_{1}e^{C_{1}x}}{1-Ke^{C_{1}x}}, com C_{1} e K constantes arbitrárias.
Verificação rápida: inserindo essas expressões em y y''-y^{2}y'-(y')^{2} a identidade se anula (pode ser confirmada por diferenciação direta).

Resposta

y(x)=C_{0} (qualquer constante C_{0}).
y(x)=-\dfrac{1}{x+C_{2}} (caso C_{1}=0, com C_{2} constante).
y(x)=\dfrac{K C_{1}e^{C_{1}x}}{1-Ke^{C_{1}x}} (caso C_{1}\neq0, com C_{1} e K constantes arbitrárias).

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