Reduza as equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem abaixo à equações de primeira ordem e resolva as mesmas: y y^{\prime \prime}=y^{2} y^{\prime}+\left(y^{\prime}\right)^{2}
Passo 1
O enunciado pede: reduzir a equação diferencial ordinária de segunda ordem
Deste produto, temos duas possibilidades que geram soluções distintas: p=0 ou y\frac{dp}{dy}-p=y^{2}.
Passo 4
Caso 1: p=0. Isto significa \dfrac{dy}{dx}=0, logo y é constante. Portanto
y(x)=C_{0},
com C_{0} constante arbitrária. Verificação rápida: se y é constante então y'=y''=0 e a equação é satisfeita. Então todas as funções constantes são soluções.
Passo 5
Caso 2: p\neq0. Divide-se por p e fica
y\frac{dp}{dy}=y^{2}+p.
Rearranjando para colocar como uma equação linear em p (com variável independente y):
\frac{dp}{dy}-\frac{1}{y}p=y.
Isto é uma equação linear de primeira ordem na função p(y). Vamos resolver por fator integrante.
Passo 6
Equação linear do tipo \dfrac{dp}{dy}+a(y)p=b(y) tem fator integrante \mu(y)=\exp\!\bigl(\int a(y)\,dy\bigr). Aqui a(y)=-\dfrac{1}{y}, então
onde C_{2} é constante de integração. Note que esta família inclui soluções não-constantes. (A solução constante y\equiv0 também existe e igualmente está coberta pelo caso geral de constantes visto no Passo 4.)
Aqui C_{1} e K são constantes arbitrárias (duas constantes, como se espera para uma EDO de segunda ordem). Podemos renomear constantes se preferir; por exemplo escrevendo A=C_{1} e B=K.
Passo 10
Resumo das famílias de soluções encontradas (lembrando de incluir as constantes perdidas ao dividir por p):
Todas as funções constantes y(x)=C_{0} são soluções (obtidas no Passo 4).
Famílias não-constantes obtidas quando p\neq0:
Se C_{1}=0: y(x)=-\dfrac{1}{x+C_{2}}.
Se C_{1}\neq0: y(x)=\dfrac{K C_{1}e^{C_{1}x}}{1-Ke^{C_{1}x}}, com C_{1} e K constantes arbitrárias.
Verificação rápida: inserindo essas expressões em y y''-y^{2}y'-(y')^{2} a identidade se anula (pode ser confirmada por diferenciação direta).
Resposta
y(x)=C_{0} (qualquer constante C_{0}). y(x)=-\dfrac{1}{x+C_{2}} (caso C_{1}=0, com C_{2} constante). y(x)=\dfrac{K C_{1}e^{C_{1}x}}{1-Ke^{C_{1}x}} (caso C_{1}\neq0, com C_{1} e K constantes arbitrárias).