Resolva os seguintes Problemas de valor inicial:
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0 \quad y(0)=1, y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado por
y''+y'-2y=0,\qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=1.
Informações fornecidas:
\text{(i) A equação diferencial linear homogênea de segunda ordem: }y''+y'-2y=0.çãê
\text{(ii) Condições iniciais: }y(0)=1\quad\text{e}\quad y'(0)=1.çõ

Passo 2

Vamos escolher um método adequado: para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes é muito eficiente procurar soluções da forma \;y(t)=e^{rt}\;. Vou explicar por quê e como isso funciona, passo a passo, para você saber aplicar na prova.
Ideia (explicação didática):
\text{Se }y(t)=e^{rt}\text{ então }y'(t)=re^{rt}\text{ e }y''(t)=r^{2}e^{rt}.ã
Substituindo essas expressões na equação diferencial homogênea, o fator comum e^{rt} não é zero, então obtemos uma equação algébrica para r. Essa equação algébrica é chamada de equação característica. As raízes r determinam a forma geral da solução:
\begin{cases} \text{duas raízes reais distintas }r_{1},r_{2}\Rightarrow y=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t},\\[4pt] \text{raiz real dupla }r\Rightarrow y=(C_{1}+C_{2}t)e^{rt},\\[4pt] \text{duas raízes complexas } \alpha\pm i\beta\Rightarrow y=e^{\alpha t}\big(C_{1}\cos(\beta t)+C_{2}\sin(\beta t)\big). \end{cases}íí
Isso basta para saber qual forma geral da solução usar depois de encontrar as raízes.]

Passo 3

Formule a equação característica associada substituindo \;y=e^{rt}\; na equação original:
r^{2}+r-2=0.

Passo 4

Resolva a equação quadrática \;r^{2}+r-2=0\;. Vou mostrar duas maneiras rápidas; aqui uso fatoração porque é direto:
r^{2}+r-2=(r+2)(r-1)=0.
Portanto as raízes são
r_{1}=1\quad\text{e}\quad r_{2}=-2.

Passo 5

Como as raízes são reais e distintas, a forma geral da solução é
y(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t}=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-2t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes que vamos determinar pelas condições iniciais.

Passo 6

Calcule a derivada y'(t) da solução geral para usar a condição inicial em y'. Uso regra simples de derivação de exponencial:
y'(t)=C_{1}e^{t}-2C_{2}e^{-2t}.

Passo 7

Aplique as condições iniciais em t=0.
Da condição y(0)=1:
y(0)=C_{1}e^{0}+C_{2}e^{0}=C_{1}+C_{2}=1.
Da condição y'(0)=1:
y'(0)=C_{1}e^{0}-2C_{2}e^{0}=C_{1}-2C_{2}=1.
Assim obtemos o sistema linear
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=1,\\[4pt] C_{1}-2C_{2}=1. \end{cases}]

Passo 8

Resolva o sistema para C_{1} e C_{2}. Subtraio a segunda equação da primeira para eliminar C_{1} ou procedo por substituição. Faço substituição: da primeira equação
C_{1}=1-C_{2}.
Substituo na segunda:
(1-C_{2})-2C_{2}=1.
Simplifico:
1-3C_{2}=1.
Subtraindo 1 dos dois lados:
-3C_{2}=0.
Logo
C_{2}=0.
E então
C_{1}=1-C_{2}=1.

Passo 9

Com C_{1}=1 e C_{2}=0 a solução particular que satisfaz as condições iniciais é
y(t)=1\cdot e^{t}+0\cdot e^{-2t}=e^{t}.

Passo 10

Verificação rápida (útil para prova): calculo y',y'' e testo na equação original.
y(t)=e^{t}\Rightarrow y'(t)=e^{t},\quad y''(t)=e^{t}.
Substituindo:
y''+y'-2y=e^{t}+e^{t}-2e^{t}=0,
portanto a solução satisfaz a equação. Verifico também as condições iniciais:
y(0)=e^{0}=1,\quad y'(0)=e^{0}=1.
Tudo conferido.

Resposta

y(t)=e^{t}

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