Vamos escolher um método adequado: para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes é muito eficiente procurar soluções da forma \;y(t)=e^{rt}\;. Vou explicar por quê e como isso funciona, passo a passo, para você saber aplicar na prova.
Ideia (explicação didática):
\text{Se }y(t)=e^{rt}\text{ então }y'(t)=re^{rt}\text{ e }y''(t)=r^{2}e^{rt}.
Substituindo essas expressões na equação diferencial homogênea, o fator comum e^{rt} não é zero, então obtemos uma equação algébrica para r. Essa equação algébrica é chamada de equação característica. As raízes r determinam a forma geral da solução:
Resolva o sistema para C_{1} e C_{2}. Subtraio a segunda equação da primeira para eliminar C_{1} ou procedo por substituição. Faço substituição: da primeira equação
C_{1}=1-C_{2}.
Substituo na segunda:
(1-C_{2})-2C_{2}=1.
Simplifico:
1-3C_{2}=1.
Subtraindo 1 dos dois lados:
-3C_{2}=0.
Logo
C_{2}=0.
E então
C_{1}=1-C_{2}=1.
Passo 9
Com C_{1}=1 e C_{2}=0 a solução particular que satisfaz as condições iniciais é
y(t)=1\cdot e^{t}+0\cdot e^{-2t}=e^{t}.
Passo 10
Verificação rápida (útil para prova): calculo y',y'' e testo na equação original.