Reduza à forma de fração ordinária as dízimas periódicas:
Passo 1
O enunciado pede para transformar a dízima periódica
em uma fração ordinária irreduzível.
Informações dadas: a parte inteira é e a parte decimal é a dízima periódica
, cujo período é o bloco de dois dígitos “
” que se repete imediatamente após a vírgula.
Objetivo: encontrar uma fração (com inteiros
) que seja exatamente igual a
.
Informações dadas: a parte inteira é
Objetivo: encontrar uma fração
Passo 2
Vamos separar a parte inteira da parte decimal para trabalhar só com a dízima. Defina:
e defina a parte decimal isolada
Assim temos a relação
Aqui
é um número entre
e
cujo padrão decimal se repete em blocos de dois dígitos.
Passo 3
Explicação do método (por que multiplicar por
): como o período de
tem
dígitos (
), multiplicando
por
deslocamos a vírgula duas casas e obtemos um número cuja parte decimal tem exatamente o mesmo padrão repetido de
. Isso permite eliminar a parte periódica subtraindo as duas equações.
Escrevendo:
Passo 4
Agora subtrai-se a primeira equação da segunda para cancelar a parte periódica:
O lado direito fica exatamente
, pois as partes decimais idênticas se anulam. Logo:
Resolvendo para
:
Passo 5
Voltando para
, lembramos que
. Substituindo o valor de
:
Colocando em uma única fração (mesmo denominador):
Calcule
, então
Passo 6
Verificamos se a fração pode ser simplificada:
. Verificamos divisibilidade de
por
e por
:
- Soma dos dígitos de
é , não múltiplo de , logo não é divisível por . - Alternando sinais
, que não é múltiplo de , logo não é divisível por .
Portanto
e a fração já está irredutível.