Reduza à forma de fração ordinária as dízimas periódicas:
3,0202 \ldots

Passo 1

O enunciado pede para transformar a dízima periódica 3,0202\ldots em uma fração ordinária irreduzível.
Informações dadas: a parte inteira é 3 e a parte decimal é a dízima periódica 0,020202\ldots, cujo período é o bloco de dois dígitos “ \,02\,” que se repete imediatamente após a vírgula.
Objetivo: encontrar uma fração \dfrac{p}{q} (com inteiros p,q) que seja exatamente igual a 3,0202\ldots.

Passo 2

Vamos separar a parte inteira da parte decimal para trabalhar só com a dízima. Defina:
x = 3,020202\ldots
e defina a parte decimal isolada
y = 0,020202\ldots
Assim temos a relação
x = 3 + y.
Aqui y é um número entre 0 e 1 cujo padrão decimal se repete em blocos de dois dígitos.

Passo 3

Explicação do método (por que multiplicar por 100): como o período de y tem 2 dígitos ( "02"), multiplicando y por 10^2=100 deslocamos a vírgula duas casas e obtemos um número cuja parte decimal tem exatamente o mesmo padrão repetido de y. Isso permite eliminar a parte periódica subtraindo as duas equações.
Escrevendo:
y = 0,020202\ldots
100y = 2,020202\ldots

Passo 4

Agora subtrai-se a primeira equação da segunda para cancelar a parte periódica:
100y - y = 2,020202\ldots - 0,020202\ldots
O lado direito fica exatamente 2, pois as partes decimais idênticas se anulam. Logo:
99y = 2.
Resolvendo para y:
y = \dfrac{2}{99}.

Passo 5

Voltando para x, lembramos que x = 3 + y. Substituindo o valor de y:
x = 3 + \dfrac{2}{99}.
Colocando em uma única fração (mesmo denominador):
x = \dfrac{3\cdot 99 + 2}{99}.
Calcule 3\cdot 99 = 297, então
x = \dfrac{297 + 2}{99} = \dfrac{299}{99}.

Passo 6

Verificamos se a fração pode ser simplificada: 99 = 3^2\cdot 11. Verificamos divisibilidade de 299 por 3 e por 11:
  • Soma dos dígitos de 299 é 2+9+9=20, não múltiplo de 3, logo 299 não é divisível por 3.
  • Alternando sinais 2-9+9=2, que não é múltiplo de 11, logo 299 não é divisível por 11.
Portanto \gcd(299,99)=1 e a fração já está irredutível.

Resposta

\dfrac{299}{99}

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