Reduza à forma de fração ordinária as dízimas periódicas:
0,777 \ldots

Passo 1

Enunciado: Reduza à forma de fração ordinária a dízima periódica 0,777\ldots.
Informações dadas: trata‑se de uma dízima periódica em que o algarismo 7 se repete indefinidamente. Podemos escrever isso como 0,\overline{7}. Nada mais é pedido além de transformar essa representação decimal em uma fração.

Passo 2

O que significa 0,\overline{7}?
Uma dízima periódica é um número decimal onde um bloco de dígitos se repete para sempre. Aqui o bloco repetido tem comprimento 1 (apenas o dígito 7). Logo 0,\overline{7} significa
0,777\ldots = 0,7\;7\;7\ldots
A ideia básica para converter dízimas em fração é usar álgebra: vamos representar o número por uma variável e então eliminar a parte repetida com uma subtração apropriada.

Passo 3

Defina a variável x como o número dado:
x = 0,\overline{7}.
Como o período tem comprimento 1, multiplicamos x por 10^{1}=10 para deslocar a vírgula de modo que a parte periódica fique alinhada:
10x = 7,\overline{7}.
Explicação: ao multiplicar por 10 movemos a vírgula uma casa decimal para a direita; a parte repetida continua idêntica ( \overline{7}), por isso ambos 10x e x têm a mesma parte periódica depois da vírgula.

Passo 4

Agora subtraímos as duas igualdades para eliminar a parte periódica:
10x - x = 7,\overline{7} - 0,\overline{7}.
Como as partes periódicas \overline{7} são idênticas, a subtração cancela essa parte e sobra somente:
9x = 7.
Isto é uma equação algébrica simples; isolando x obtemos:
x = \frac{7}{9}.

Passo 5

Verificação e simplificação:
  • Verificamos se a fração \frac{7}{9} pode ser reduzida. O numerador 7 é primo e não divide o denominador 9, logo \gcd(7,9)=1. Portanto a fração já está irredutível.
  • Checagem rápida por divisão: 7\div 9 produz 0,777\ldots, confirmando que \frac{7}{9} corresponde a 0,\overline{7}.

Passo 6

Método alternativo (opcional, para compreender outra ideia): interpretar como soma de série geométrica. Escrevendo os termos:
0,\overline{7}=0,7+0,07+0,007+\cdots=\sum_{k=1}^{\infty}7\cdot 10^{-k}.
Isto é uma série geométrica com primeiro termo a=7\cdot 10^{-1} e razão r=10^{-1}. A soma de uma série geométrica infinita com |r|<1 é \displaystyle S=\frac{a}{1-r}. Aplicando:
S=\frac{7\cdot 10^{-1}}{1-10^{-1}}=\frac{7/10}{9/10}=\frac{7}{9},
mesmo resultado.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{9}

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