Reduza à forma de fração ordinária as dízimas periódicas:
Passo 1
Enunciado: Reduza à forma de fração ordinária a dízima periódica
.
Informações dadas: trata‑se de uma dízima periódica em que o algarismo se repete indefinidamente. Podemos escrever isso como
. Nada mais é pedido além de transformar essa representação decimal em uma fração.
Informações dadas: trata‑se de uma dízima periódica em que o algarismo
Passo 2
O que significa
?
Uma dízima periódica é um número decimal onde um bloco de dígitos se repete para sempre. Aqui o bloco repetido tem comprimento (apenas o dígito
). Logo
significa
Uma dízima periódica é um número decimal onde um bloco de dígitos se repete para sempre. Aqui o bloco repetido tem comprimento
A ideia básica para converter dízimas em fração é usar álgebra: vamos representar o número por uma variável e então eliminar a parte repetida com uma subtração apropriada.
Passo 3
Defina a variável
como o número dado:
Como o período tem comprimento
, multiplicamos
por
para deslocar a vírgula de modo que a parte periódica fique alinhada:
Explicação: ao multiplicar por
movemos a vírgula uma casa decimal para a direita; a parte repetida continua idêntica (
), por isso ambos
e
têm a mesma parte periódica depois da vírgula.
Passo 4
Agora subtraímos as duas igualdades para eliminar a parte periódica:
Como as partes periódicas
são idênticas, a subtração cancela essa parte e sobra somente:
Isto é uma equação algébrica simples; isolando
obtemos:
Passo 5
Verificação e simplificação:
- Verificamos se a fração
pode ser reduzida. O numerador é primo e não divide o denominador , logo . Portanto a fração já está irredutível. - Checagem rápida por divisão:
produz , confirmando que corresponde a .
Passo 6
Método alternativo (opcional, para compreender outra ideia): interpretar como soma de série geométrica. Escrevendo os termos:
Isto é uma série geométrica com primeiro termo
e razão
. A soma de uma série geométrica infinita com
é
. Aplicando:
mesmo resultado.