Reduza à forma de fração ordinária as dízimas periódicas:
0,377 \ldots

Passo 1

O enunciado pede que você reduza à forma de fração ordinária a dízima periódica 0,377\ldots.
Informações dadas: a parte inteira é 0; a primeira casa decimal é 3 e, a seguir, o dígito 7 se repete infinitamente (ou seja, a parte periódica é o dígito 7 repetido).

Passo 2

Vamos representar o número por uma variável para trabalhar com álgebra. Defina
x = 0,377\ldots
Aqui x é o número decimal que queremos transformar em fração.

Passo 3

Explico a ideia usada: quando temos uma dízima com uma parte inicial não periódica e depois um período, multiplicamos x por potências de 10 para alinhar as repetições e então subtraímos duas equações para eliminar a parte periódica infinita. No nosso caso a parte não periódica tem uma casa decimal ( 3) e o período tem comprimento 1 (o dígito 7). Para alinhar repetições fazemos:
multiplicar por 10 (desloca uma casa) e por 100 (desloca duas casas) — isso garante que as partes fracionárias das duas equações sejam iguais (ambas 0,777\ldots), facilitando a subtração.

Passo 4

Multiplique x por 10:
10x = 3,777\ldots
Multiplique x por 100:
100x = 37,777\ldots
Agora subtraímos a primeira equação da segunda para eliminar a dízima periódica 0,777\ldots:
100x - 10x = 37,777\ldots - 3,777\ldots
No lado esquerdo fica 90x. No lado direito a parte decimal infinita cancela, sobrando
90x = 34.

Passo 5

Isolando x:
x = \frac{34}{90}.
Agora simplificamos a fração. Dividindo numerador e denominador por 2 (maior divisor comum aparente),
x = \frac{17}{45}.
Verificação rápida: 17 e 45 não têm divisores comuns além de 1, logo a fração está irredutível.

Passo 6

Confirmação intuitiva: se quiser transformar \tfrac{17}{45} em decimal rapidamente, note que 45 cabe em 17,000 (ao calcular divisão) produz 0,3 e resto que gera repetição de 7 nas casas seguintes, produzindo 0,37777\ldots. Isso confirma que a conversão está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{17}{45}

Exercícios relacionados