Reduza à forma de fração ordinária as dízimas periódicas:
Passo 1
O enunciado pede que você reduza à forma de fração ordinária a dízima periódica
.
Informações dadas: a parte inteira é ; a primeira casa decimal é
e, a seguir, o dígito
se repete infinitamente (ou seja, a parte periódica é o dígito
repetido).
Informações dadas: a parte inteira é
Passo 2
Vamos representar o número por uma variável para trabalhar com álgebra. Defina
Aqui
é o número decimal que queremos transformar em fração.
Passo 3
Explico a ideia usada: quando temos uma dízima com uma parte inicial não periódica e depois um período, multiplicamos
por potências de
para alinhar as repetições e então subtraímos duas equações para eliminar a parte periódica infinita. No nosso caso a parte não periódica tem uma casa decimal (
) e o período tem comprimento
(o dígito
). Para alinhar repetições fazemos:
multiplicar por (desloca uma casa) e por
(desloca duas casas) — isso garante que as partes fracionárias das duas equações sejam iguais (ambas
), facilitando a subtração.
multiplicar por
Passo 4
Multiplique
por
:
Multiplique
por
:
Agora subtraímos a primeira equação da segunda para eliminar a dízima periódica
:
No lado esquerdo fica
. No lado direito a parte decimal infinita cancela, sobrando
Passo 5
Isolando
:
Agora simplificamos a fração. Dividindo numerador e denominador por
(maior divisor comum aparente),
Verificação rápida:
e
não têm divisores comuns além de
, logo a fração está irredutível.
Passo 6
Confirmação intuitiva: se quiser transformar
em decimal rapidamente, note que
cabe em
(ao calcular divisão) produz
e resto que gera repetição de
nas casas seguintes, produzindo
. Isso confirma que a conversão está correta.