Reduza à forma de fração ordinária as dízimas periódicas:
Passo 1
O enunciado pede para “reduzir à forma de fração ordinária” a dízima periódica
.\n
Informações dadas e o que precisamos identificar:\n
Informações dadas e o que precisamos identificar:\n
- O número é
. \n - A parte periódica (repetend) é o algarismo
, que se repete infinitamente. \n - Queremos escrever esse número como uma fração comum (número racional na forma
com inteiros ).
Passo 2
Ideia do método (explicação didática):\n
- Denotamos o número por
. \n - Como a parte periódica tem comprimento
(apenas um dígito, o ), multiplicamos por para deslocar a vírgula de modo que a parte periódica fique alinhada entre e . \n - Subtraindo
de eliminamos a dízima periódica na subtração, ficando uma equação algébrica simples que nos permite achar em forma de fração. \n
(Esse é o método padrão para dízimas periódicas simples: multiplicar por, subtrair, resolver.)
Passo 3
Definimos a variável:\n
Passo 4
Multiplicamos por
(porque o período tem comprimento
) para alinhar as partes periódicas:\n
Explicação: ao multiplicar por
deslocamos a vírgula uma casa para a direita; a sequência
permanece a mesma, então ambas as expansões decimais têm a mesma parte decimal repetida.
Passo 5
Subtraímos a primeira equação da segunda para eliminar a dízima periódica:\n
Como as partes decimais idênticas se cancelam ao subtrair, obtemos:
Expliquei:
porque
e os
se anulam.
Passo 6
Isolamos
e simplificamos a fração:\n
Agora simplificamos dividindo numerador e denominador pelo máximo divisor comum, que é
:
Passo 7
Verificação (mostrando que a fração dá a dízima esperada):\n
Fazendo a divisão :
cabe
vez em
(resto
), então parte inteira
. Colocando vírgula e trazendo zero:
resto
. Esse resto
volta a produzir o mesmo
sucessivamente, gerando
. Assim a verificação confirma que
corresponde a
.
Fazendo a divisão