Reduza à forma de fração ordinária as dízimas periódicas:
1,666 \ldots

Passo 1

O enunciado pede para “reduzir à forma de fração ordinária” a dízima periódica 1,666\ldots.\n
Informações dadas e o que precisamos identificar:\n
  • O número é 1,666\ldots. \n
  • A parte periódica (repetend) é o algarismo \,6, que se repete infinitamente. \n
  • Queremos escrever esse número como uma fração comum (número racional na forma \frac{a}{b} com inteiros a,b).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática):\n
  • Denotamos o número por x. \n
  • Como a parte periódica tem comprimento n=1 (apenas um dígito, o \,6), multiplicamos x por 10^{n}=10 para deslocar a vírgula de modo que a parte periódica fique alinhada entre x e 10x. \n
  • Subtraindo x de 10x eliminamos a dízima periódica na subtração, ficando uma equação algébrica simples que nos permite achar x em forma de fração. \n
    (Esse é o método padrão para dízimas periódicas simples: multiplicar por 10^{n}, subtrair, resolver.)

Passo 3

Definimos a variável:\n
x = 1,666\ldots

Passo 4

Multiplicamos por 10 (porque o período tem comprimento 1) para alinhar as partes periódicas:\n
10x = 16,666\ldots
Explicação: ao multiplicar por 10 deslocamos a vírgula uma casa para a direita; a sequência \ldots 666\ldots permanece a mesma, então ambas as expansões decimais têm a mesma parte decimal repetida.

Passo 5

Subtraímos a primeira equação da segunda para eliminar a dízima periódica:\n
10x - x = 16,666\ldots - 1,666\ldots
Como as partes decimais idênticas se cancelam ao subtrair, obtemos:
9x = 15
Expliquei: 16,666\ldots - 1,666\ldots = 15 porque 16-1=15 e os \,,666\ldots se anulam.

Passo 6

Isolamos x e simplificamos a fração:\n
x = \frac{15}{9}
Agora simplificamos dividindo numerador e denominador pelo máximo divisor comum, que é 3:
x = \frac{15\div 3}{9\div 3} = \frac{5}{3}.

Passo 7

Verificação (mostrando que a fração dá a dízima esperada):\n
Fazendo a divisão 5\div 3: 3 cabe 1 vez em 5 (resto 2), então parte inteira 1. Colocando vírgula e trazendo zero: 20\div 3 = 6 resto 2. Esse resto 2 volta a produzir o mesmo 6 sucessivamente, gerando 1,666\ldots. Assim a verificação confirma que \frac{5}{3} corresponde a 1,666\ldots.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{3}

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