Reduza as matrizes abaixo à forma escada e calcule seu posto e a sua nulidade.
\left(\begin{array}{cccc}0 & 1 & 3 & -2 \\\\ 2 & 1 & -4 & 3 \\\\ 2 & 3 & 2 & -1\end{array}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:\n
  • Pede: reduzir a matriz à forma escada e calcular o posto e a nulidade.\n
  • Matriz dada:
A = \left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 3 & -2 \\\\ 2 & 1 & -4 & 3 \\\\ 2 & 3 & 2 & -1 \end{array}\right)

Passo 2

Breve explicação das operações permitidas (sem pânico): podemos trocar linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo e somar a múltiplos de uma linha a outra. Essas operações não mudam o espaço gerado pelas linhas (logo mantêm o posto). Vamos aplicar eliminação de Gauss para obter a forma escada.\n
Primeira ação: trocar R_1 com R_2 para ter um pivô não nulo na primeira linha:
\begin{aligned} R_1 &\leftrightarrow R_2 \end{aligned}
Resultado:
\left(\begin{array}{cccc} 2 & 1 & -4 & 3 \\\\ 0 & 1 & 3 & -2 \\\\ 2 & 3 & 2 & -1 \end{array}\right)

Passo 3

Zerar o elemento abaixo do pivô da primeira coluna (ou seja, tornar o (3,1) igual a zero). Usamos R_3 \leftarrow R_3 - R_1. Vou mostrar elemento a elemento:
R_3 - R_1 = (2-2,\;3-1,\;2-(-4),\;-1-3) = (0,\;2,\;6,\;-4).
Matriz após a operação:
\left(\begin{array}{cccc} 2 & 1 & -4 & 3 \\\\ 0 & 1 & 3 & -2 \\\\ 0 & 2 & 6 & -4 \end{array}\right)

Passo 4

Agora usar o pivô da segunda linha (que é 1 na coluna 2) para zerar o elemento abaixo dele: fazemos R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2. Calculemos 2R_2 e a diferença:
2R_2 = (0,\;2,\;6,\;-4), \qquad R_3 - 2R_2 = (0-0,\;2-2,\;6-6,\;-4-(-4)) = (0,0,0,0).
Matriz depois:
\left(\begin{array}{cccc} 2 & 1 & -4 & 3 \\\\ 0 & 1 & 3 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
Isto é uma forma escada: cada linha não nula tem um primeiro elemento não nulo (pivô) à direita do pivô da linha anterior, e as linhas zero estão embaixo.

Passo 5

Identificação dos pivôs e interpretação didática:\n
  • Na primeira linha o primeiro elemento não nulo (pivô) está na coluna 1 (valor 2).\n
  • Na segunda linha o pivô está na coluna 2 (valor 1).\n
  • A terceira linha é nula.\n
    O número de pivôs (linhas com pivô) indica quantas colunas independentes há nas linhas — esse número é o posto da matriz. Também esse número é a dimensão da imagem (colunas pivô). Para a nulidade: quando a matriz representa uma transformação de \mathbb{R}^{4} em \mathbb{R}^{3}, a nulidade é o número de variáveis livres, isto é, \text{nº colunas} - \text{posto}º. Vou agora transformar para a forma reduzida por linhas (RREF) só para mostrar claramente as equações que definem o núcleo (isso ajuda a entender por que a nulidade vale o que vale).

Passo 6

Reduzir mais para ler as equações (opcional, mas útil). Primeiro zerar o 1 na coluna 2 da primeira linha: R_1 \leftarrow R_1 - R_2. Calculando:
R_1 - R_2 = (2-0,\;1-1,\;-4-3,\;3-(-2)) = (2,0,-7,5).
Matriz:
\left(\begin{array}{cccc} 2 & 0 & -7 & 5 \\\\ 0 & 1 & 3 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
Agora tornar o pivô da primeira linha igual a 1 dividindo por 2: R_1 \leftarrow \tfrac{1}{2}R_1:
\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & -\tfrac{7}{2} & \tfrac{5}{2} \\\\ 0 & 1 & 3 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
Esta é a forma reduzida em relação às duas primeiras linhas (RREF parcial suficiente). As equações correspondentes a Ax=0 são:
\begin{aligned} x_1 - \tfrac{7}{2}x_3 + \tfrac{5}{2}x_4 &= 0,\\\ x_2 + 3x_3 - 2x_4 &= 0. \end{aligned}
Escolhendo x_3 = s e x_4 = t como parâmetros livres, obtemos
\begin{aligned} x_1 &= \tfrac{7}{2}s - \tfrac{5}{2}t,\\\ x_2 &= -3s + 2t,\\\ x_3 &= s,\quad x_4 = t. \end{aligned}
Assim qualquer vetor nulo é combinação linear de
\left(\begin{array}{c}\tfrac{7}{2}\\\ -3\\\ 1\\\ 0\end{array}\right) \quad\text{e}\quad \left(\begin{array}{c}-\tfrac{5}{2}\\\ 2\\\ 0\\\ 1\end{array}\right),
confirmando que o espaço nulo tem dimensão 2 (duas variáveis livres).

Resposta

\text{Forma escada:\\ }\left(\begin{array}{cccc} 2 & 1 & -4 & 3 \\\\ 0 & 1 & 3 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
Posto = 2
Nulidade = 2

Exercícios relacionados