Reduza as matrizes abaixo à forma escada e calcule seu posto e a sua nulidade. \left(\begin{array}{cccc}0 & 1 & 3 & -2 \\\\ 2 & 1 & -4 & 3 \\\\ 2 & 3 & 2 & -1\end{array}\right)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:\n
Pede: reduzir a matriz à forma escada e calcular o posto e a nulidade.\n
Breve explicação das operações permitidas (sem pânico): podemos trocar linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo e somar a múltiplos de uma linha a outra. Essas operações não mudam o espaço gerado pelas linhas (logo mantêm o posto). Vamos aplicar eliminação de Gauss para obter a forma escada.\n
Primeira ação: trocar R_1 com R_2 para ter um pivô não nulo na primeira linha:
Zerar o elemento abaixo do pivô da primeira coluna (ou seja, tornar o (3,1) igual a zero). Usamos R_3 \leftarrow R_3 - R_1. Vou mostrar elemento a elemento:
Agora usar o pivô da segunda linha (que é 1 na coluna 2) para zerar o elemento abaixo dele: fazemos R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2. Calculemos 2R_2 e a diferença:
Isto é uma forma escada: cada linha não nula tem um primeiro elemento não nulo (pivô) à direita do pivô da linha anterior, e as linhas zero estão embaixo.
Passo 5
Identificação dos pivôs e interpretação didática:\n
Na primeira linha o primeiro elemento não nulo (pivô) está na coluna 1 (valor 2).\n
Na segunda linha o pivô está na coluna 2 (valor 1).\n
A terceira linha é nula.\n
O número de pivôs (linhas com pivô) indica quantas colunas independentes há nas linhas — esse número é o posto da matriz. Também esse número é a dimensão da imagem (colunas pivô). Para a nulidade: quando a matriz representa uma transformação de \mathbb{R}^{4} em \mathbb{R}^{3}, a nulidade é o número de variáveis livres, isto é, \text{nº colunas} - \text{posto}º. Vou agora transformar para a forma reduzida por linhas (RREF) só para mostrar claramente as equações que definem o núcleo (isso ajuda a entender por que a nulidade vale o que vale).
Passo 6
Reduzir mais para ler as equações (opcional, mas útil). Primeiro zerar o 1 na coluna 2 da primeira linha: R_1 \leftarrow R_1 - R_2. Calculando: