Os vetores \vec{a} e \vec{b} formam um ângulo de 150^{\circ}. Sabe-se que \|\vec{a}\|=\sqrt{3} \mathrm{e}\|\vec{b}\|=\sqrt{2}. Calcule:
\|\vec{a}-\vec{b}\|

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O ângulo entre os vetores \vec{a} e \vec{b} é \,150^\circ.
  • \|\vec{a}\|=\sqrt{3}.
  • \|\vec{b}\|=\sqrt{2}.
A pergunta é: calcular \|\vec{a}-\vec{b}\|.

Passo 2

Vamos lembrar uma identidade muito útil (e fácil de aplicar na prova): a relação entre norma, produto escalar e o cosseno do ângulo. Para quaisquer vetores \vec{u} e \vec{v},
\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}+\|\vec{v}\|^{2}-2\,\vec{u}\cdot\vec{v}.
Além disso, o produto escalar pode ser escrito em termos das normas e do ângulo \theta entre os vetores:
\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\cos\theta.
Aqui as variáveis significam:
  • \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\| são os comprimentos (normas) dos vetores;
  • \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar (uma medida de quanto os vetores apontam na mesma direção);
  • \theta é o ângulo entre eles e \cos\theta é o cosseno desse ângulo.
Aplicando isso ao nosso caso com \vec{u}=\vec{a} e \vec{v}=\vec{b} obtemos a fórmula-prática que usaremos:
\|\vec{a}-\vec{b}\|^{2}=\|\vec{a}\|^{2}+\|\vec{b}\|^{2}-2\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\cos(150^\circ).

Passo 3

Calculemos passo a passo os termos da expressão.
As normas ao quadrado são:
\|\vec{a}\|^{2}=(\sqrt{3})^{2}=3, \qquad \|\vec{b}\|^{2}=(\sqrt{2})^{2}=2.
O produto das normas é
\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|=\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{6}.
Agora o cosseno do ângulo \,150^\circ. Como 150^\circ=180^\circ-30^\circ, tem-se
\cos(150^\circ)=-\cos(30^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}.
Substituindo tudo na fórmula:
\|\vec{a}-\vec{b}\|^{2}=3+2-2\cdot\sqrt{6}\cdot\cos(150^\circ).

Passo 4

Continuando a substituição com o valor de \cos(150^\circ):
\|\vec{a}-\vec{b}\|^{2}=3+2-2\sqrt{6}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right).
Simplificando o último termo:
-2\sqrt{6}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=+\sqrt{6}\,\sqrt{3}=+\sqrt{18}=+3\sqrt{2}.
Portanto
\|\vec{a}-\vec{b}\|^{2}=3+2+3\sqrt{2}=5+3\sqrt{2}.

Passo 5

A norma é a raiz quadrada do quadrado da norma. Como norma é não negativa:
\|\vec{a}-\vec{b}\|=\sqrt{5+3\sqrt{2}}.
Se quiser uma aproximação numérica rápida para conferir na prova (não pedida), dá cerca de \sqrt{5+3\sqrt{2}}\approx 3{,}04.

Resposta

\sqrt{5+3\sqrt{2}}

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