Os vetores
e
formam um ângulo de
. Sabe-se que
. Calcule:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- O ângulo entre os vetores
e é . -
. -
.
A pergunta é: calcular
.
Passo 2
Vamos lembrar uma identidade muito útil (e fácil de aplicar na prova): a relação entre norma, produto escalar e o cosseno do ângulo. Para quaisquer vetores
e
,
Além disso, o produto escalar pode ser escrito em termos das normas e do ângulo
entre os vetores:
Aqui as variáveis significam:
-
e são os comprimentos (normas) dos vetores; -
é o produto escalar (uma medida de quanto os vetores apontam na mesma direção); -
é o ângulo entre eles e é o cosseno desse ângulo.
Aplicando isso ao nosso caso com
e
obtemos a fórmula-prática que usaremos:
Passo 3
Calculemos passo a passo os termos da expressão.
As normas ao quadrado são:
O produto das normas é
Agora o cosseno do ângulo
. Como
, tem-se
Substituindo tudo na fórmula:
Passo 4
Continuando a substituição com o valor de
:
Simplificando o último termo:
Portanto
Passo 5
A norma é a raiz quadrada do quadrado da norma. Como norma é não negativa:
Se quiser uma aproximação numérica rápida para conferir na prova (não pedida), dá cerca de
.