(Reduzir conjuntos geradores) Sejam 
  vetores de um espaço vetorial 
 . Prove que, se 
  é combinação linear de 
  então 
 .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores 
  em um espaço vetorial 
 . A afirmação é que se o último vetor 
  pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores anteriores 
 , então o conjunto formado por 
  gera o mesmo espaço que o conjunto completo 
 . Para provar isso, vamos usar conceitos de combinações lineares e geração de conjuntos em espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um vetor ser combinação linear de outros vetores. Dizemos que 
  é uma combinação linear de 
  se existem escalares 
  tais que:
Isso significa que 
  não adiciona nenhuma “nova direção” ao espaço gerado por 
 .
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa que 
 . A notação 
  representa o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores 
 . Então, queremos mostrar que qualquer combinação linear dos 
  vetores pode ser obtida sem usar 
 .
Passo 4
Começamos provando que 
 . Seja um vetor qualquer 
  em 
 . Então, existe escalares 
  tais que:
Mas como 
 , podemos substituir na expressão de 
 :
Simplificando:
Isso mostra que 
  está em 
 .
Passo 5
Em seguida, vemos que 
  é sempre verdadeiro, pois 
  é um subconjunto de 
  (já que estamos adicionando mais vetores).
Passo 6
Com as duas inclusões 
  e 
 , concluímos que:
Resposta
Portanto, se 
  é combinação linear de 
 , então 
 .