Reescreva cada afirmação a seguir em linguagem natural, sem usar notação simbólica, e determine seu valor verdade:
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: reescrever em linguagem natural, sem notação simbólica, a afirmação dada; e determinar se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
A afirmação fornecida é . As informações relevantes são:
A afirmação fornecida é
- O quantificador é
(para todo). - O domínio é
(todos os números reais). - A propriedade a testar é a desigualdade
.
Passo 2
Entendendo o que significa a frase com quantificador universal.
A expressão diz, em palavras, que “para cada número real, esse número é menor do que o seu quadrado”. Em linguagem natural, sem símbolos, podemos dizer: “Para todo número real, ele é menor do que o seu quadrado.” Essa é a reescrita pedida.
A expressão
Passo 3
Estratégia para decidir verdade/falsidade.
Uma afirmação com (para todo) é verdadeira somente se a propriedade
for satisfeita por todos os números reais. Para mostrar que é falsa basta encontrar um contraexemplo: um único número real para o qual
não seja verdade. Para entender onde a desigualdade vale ou não, vamos resolver a desigualdade em geral.
Uma afirmação com
Passo 4
Transformar a desigualdade em uma forma mais tratável.
Começamos com
Começamos com
Subtraindo
dos dois lados obtemos
Fatorando o polinômio:
portanto precisamos estudar
Passo 5
Análise de sinais do produto
.
Um produto de dois fatores é positivo quando os dois fatores têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos). Vamos analisar os sinais de e
em intervalos determinados pelas raízes
e
.
Um produto de dois fatores é positivo quando os dois fatores têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos). Vamos analisar os sinais de
Considere os intervalos:
- Para
: tem-se e . Dois fatores negativos ⇒ produto positivo ⇒ é verdadeiro. - Para
: tem-se e . Fatores com sinais opostos ⇒ produto negativo ⇒ é falso. - Para
: tem-se e . Dois fatores positivos ⇒ produto positivo ⇒ é verdadeiro. - Em
ou : o produto é zero, logo , e a desigualdade estrita é falsa nesses pontos.
Passo 6
Concluir o conjunto de soluções da desigualdade.
A desigualdade (equivalente a
) é satisfeita exatamente quando
A desigualdade
Em particular, nem todos os números reais satisfazem a desigualdade: os números no intervalo
e os pontos
e
não a satisfazem.
Passo 7
Fornecer contraexemplos concretos.
Basta um contraexemplo para refutar a afirmação universal. Exemplos simples:
Basta um contraexemplo para refutar a afirmação universal. Exemplos simples:
- Tome
. Então é falso, pois . - Tome
. Então é falso (é igualdade). - Tome
. Então é falso (é igualdade).
Qualquer desses mostra que a afirmação “para todo número real, ele é menor do que o seu quadrado” não é verdadeira.
Passo 8
Conclusão final sobre o valor-verdade.
Como existem números reais (por exemplo ) para os quais a desigualdade falha, a afirmação universal
é falsa. Em vez disso, a propriedade vale apenas para
ou
.
Como existem números reais (por exemplo
Resposta
Para todo número real, ele é menor do que o seu quadrado.
Falsa
Falsa