Reescreva cada afirmação a seguir em linguagem natural, sem usar notação simbólica, e determine seu valor verdade:
\forall x \in \mathbb{R}, x<x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: reescrever em linguagem natural, sem notação simbólica, a afirmação dada; e determinar se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
A afirmação fornecida é \forall x \in \mathbb{R},\\ x<x^{2}. As informações relevantes são:
  • O quantificador é \forall (para todo).
  • O domínio é \mathbb{R} (todos os números reais).
  • A propriedade a testar é a desigualdade x<x^{2}.

Passo 2

Entendendo o que significa a frase com quantificador universal.
A expressão \forall x \in \mathbb{R},\\ x<x^{2} diz, em palavras, que “para cada número real, esse número é menor do que o seu quadrado”. Em linguagem natural, sem símbolos, podemos dizer: “Para todo número real, ele é menor do que o seu quadrado.” Essa é a reescrita pedida.

Passo 3

Estratégia para decidir verdade/falsidade.
Uma afirmação com \forall (para todo) é verdadeira somente se a propriedade x<x^{2} for satisfeita por todos os números reais. Para mostrar que é falsa basta encontrar um contraexemplo: um único número real para o qual x<x^{2} não seja verdade. Para entender onde a desigualdade vale ou não, vamos resolver a desigualdade em geral.

Passo 4

Transformar a desigualdade em uma forma mais tratável.
Começamos com
x < x^{2}.
Subtraindo x dos dois lados obtemos
x^{2}-x > 0.
Fatorando o polinômio:
x^{2}-x = x(x-1),
portanto precisamos estudar
x(x-1) > 0.

Passo 5

Análise de sinais do produto x(x-1).
Um produto de dois fatores é positivo quando os dois fatores têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos). Vamos analisar os sinais de x e x-1 em intervalos determinados pelas raízes 0 e 1.
Considere os intervalos:
  • Para x<0: tem-se x<0 e x-1<0. Dois fatores negativos ⇒ produto positivo ⇒ x(x-1)>0 é verdadeiro.
  • Para 0<x<1: tem-se x>0 e x-1<0. Fatores com sinais opostos ⇒ produto negativo ⇒ x(x-1)>0 é falso.
  • Para x>1: tem-se x>0 e x-1>0. Dois fatores positivos ⇒ produto positivo ⇒ x(x-1)>0 é verdadeiro.
  • Em x=0 ou x=1: o produto é zero, logo x(x-1)=0, e a desigualdade estrita x(x-1)>0 é falsa nesses pontos.

Passo 6

Concluir o conjunto de soluções da desigualdade.
A desigualdade x<x^{2} (equivalente a x(x-1)>0) é satisfeita exatamente quando
x\in(-\infty,0)\cup(1,\infty).
Em particular, nem todos os números reais satisfazem a desigualdade: os números no intervalo (0,1) e os pontos 0 e 1 não a satisfazem.

Passo 7

Fornecer contraexemplos concretos.
Basta um contraexemplo para refutar a afirmação universal. Exemplos simples:
  • Tome x=\tfrac{1}{2}. Então \tfrac{1}{2} < \bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{2} = \tfrac{1}{4} é falso, pois \tfrac{1}{2}>\tfrac{1}{4}.
  • Tome x=0. Então 0<0^{2}=0 é falso (é igualdade).
  • Tome x=1. Então 1<1^{2}=1 é falso (é igualdade).
Qualquer desses mostra que a afirmação “para todo número real, ele é menor do que o seu quadrado” não é verdadeira.

Passo 8

Conclusão final sobre o valor-verdade.
Como existem números reais (por exemplo x=\tfrac{1}{2}) para os quais a desigualdade falha, a afirmação universal \forall x \in \mathbb{R},\\ x<x^{2} é falsa. Em vez disso, a propriedade vale apenas para x<0 ou x>1.

Resposta

Para todo número real, ele é menor do que o seu quadrado.
Falsa

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