Reescreva cada afirmação a seguir em linguagem natural, sem usar notação simbólica, e determine seu valor verdade:
.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado é a fórmula simbólica
O que pediram:
- Reescrever essa afirmação em linguagem natural, sem usar notação simbólica.
- Determinar o valor-verdade da afirmação (se é verdadeira ou falsa).
Informações relevantes do enunciado:
- As letras
, e representam números inteiros (pertencem a ). - A condição considerada é
(ou seja, é menor que ). - A conclusão afirmada é que existe um inteiro
estritamente entre e .
Passo 2
Vamos entender bem o significado lógico dos símbolos (isso ajuda a reescrever corretamente e a pensar em como provar ou refutar a afirmação).
- O símbolo
significa "para todos os inteiros e ". Em linguagem natural: a afirmação deve valer para qualquer escolha de dois inteiros. - A implicação
significa "se então ". Ou seja, sempre que a hipótese for verdadeira, a conclusão deve ser verdadeira. - O símbolo
significa "existe algum inteiro tal que ". Em linguagem natural: há pelo menos um inteiro estritamente entre e .
Portanto, a frase total afirma que: "para quaisquer inteiros
e
, se
é menor que
então existe um inteiro
situado estritamente entre
e
".
Passo 3
Reescrevendo em linguagem natural (sem símbolos lógicos):
“Para quaisquer números inteiros e
, se
é menor do que
, então existe um número inteiro
tal que
está estritamente entre
e
.”
“Para quaisquer números inteiros
(Observação: aqui a ideia foi colocada totalmente em palavras; os nomes das variáveis
,
,
aparecem só como rótulos, sem usar símbolos como
ou
.)
Passo 4
Como determinar o valor-verdade de uma afirmação universal do tipo “para todo
, se … então …”? Há duas possibilidades:
- Para provar verdadeira: deve-se mostrar que, escolhendo quaisquer inteiros
e com , sempre existe um inteiro entre eles. - Para provar falsa: basta encontrar um contraexemplo, isto é, mostrar um par específico de inteiros
e com para o qual NÃO existe nenhum inteiro com .
Quando a afirmação tem quantificador universal (
), um único contraexemplo basta para refutá-la.
Passo 5
Procurando um contraexemplo simples: pense em dois inteiros consecutivos, isto é,
. Intuitivamente, entre dois inteiros consecutivos não há nenhum outro inteiro.
Escolha específica:
e
(são inteiros e
).
Agora verificar se existe algum inteiro
com
.
- Qualquer inteiro
é um dos . - Os inteiros que satisfazem
são . - Mas os inteiros que satisfazem
são . - Não existe inteiro que pertença simultaneamente a
e a . Logo não existe inteiro com .
Portanto, para o par
a hipótese
é satisfeita, mas a conclusão "existe inteiro
com
" é falsa. Isso é um contraexemplo que invalida a afirmação universal.
Passo 6
Generalização da ideia do contraexemplo: sempre que
e
forem inteiros consecutivos (ou seja,
), não existe inteiro estritamente entre eles. Assim existem muitos pares
que violam a propriedade, não apenas o par
.
Isso confirma que a afirmação dada é falsa, porque uma afirmação que diz “para todos os inteiros…” é falsificada por qualquer par de inteiros consecutivos.
Passo 7
Resumo e conclusão final: a tradução em linguagem natural e o valor-verdade da afirmação.
Resposta
Para quaisquer números inteiros
e
, se
é menor do que
, então existe um número inteiro
tal que
está estritamente entre
e
.\nFalso (contraexemplo:
,
; não existe inteiro
com
).