Reescreva cada afirmação a seguir em linguagem natural, sem usar notação simbólica, e determine seu valor verdade:
\forall a, b \in \mathbb{Z}, a<b \Rightarrow \exists c \in \mathbb{Z}: a<c<b.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado é a fórmula simbólica
\forall a, b \in \mathbb{Z},\; a<b \Rightarrow \exists c \in \mathbb{Z}:\; a<c<b.
O que pediram:
  • Reescrever essa afirmação em linguagem natural, sem usar notação simbólica.
  • Determinar o valor-verdade da afirmação (se é verdadeira ou falsa).
Informações relevantes do enunciado:
  • As letras a, b e c representam números inteiros (pertencem a \mathbb{Z}).
  • A condição considerada é a<b (ou seja, a é menor que b).
  • A conclusão afirmada é que existe um inteiro c estritamente entre a e b.

Passo 2

Vamos entender bem o significado lógico dos símbolos (isso ajuda a reescrever corretamente e a pensar em como provar ou refutar a afirmação).
  • O símbolo \forall a,b\in\mathbb{Z} significa "para todos os inteiros a e b". Em linguagem natural: a afirmação deve valer para qualquer escolha de dois inteiros.
  • A implicação P\Rightarrow Q significa "se P então Q". Ou seja, sempre que a hipótese P for verdadeira, a conclusão Q deve ser verdadeira.
  • O símbolo \exists c\in\mathbb{Z}:\; a<c<b significa "existe algum inteiro c tal que a<c<b". Em linguagem natural: há pelo menos um inteiro estritamente entre a e b.
Portanto, a frase total afirma que: "para quaisquer inteiros a e b, se a é menor que b então existe um inteiro c situado estritamente entre a e b".

Passo 3

Reescrevendo em linguagem natural (sem símbolos lógicos):
“Para quaisquer números inteiros a e b, se a é menor do que b, então existe um número inteiro c tal que c está estritamente entre a e b.”
(Observação: aqui a ideia foi colocada totalmente em palavras; os nomes das variáveis a, b, c aparecem só como rótulos, sem usar símbolos como \forall ou \exists.)

Passo 4

Como determinar o valor-verdade de uma afirmação universal do tipo “para todo a,b, se … então …”? Há duas possibilidades:
  • Para provar verdadeira: deve-se mostrar que, escolhendo quaisquer inteiros a e b com a<b, sempre existe um inteiro entre eles.
  • Para provar falsa: basta encontrar um contraexemplo, isto é, mostrar um par específico de inteiros a e b com a<b para o qual NÃO existe nenhum inteiro c com a<c<b.
Quando a afirmação tem quantificador universal ( \forall), um único contraexemplo basta para refutá-la.

Passo 5

Procurando um contraexemplo simples: pense em dois inteiros consecutivos, isto é, b=a+1. Intuitivamente, entre dois inteiros consecutivos não há nenhum outro inteiro.
Escolha específica: a=0 e b=1 (são inteiros e 0<1).
Agora verificar se existe algum inteiro c com 0<c<1.
  • Qualquer inteiro c é um dos \dots,-1,0,1,2,\dots.
  • Os inteiros que satisfazem 0<c são 1,2,3,\dots.
  • Mas os inteiros que satisfazem c<1 são \dots,-1,0.
  • Não existe inteiro que pertença simultaneamente a \{1,2,3,\dots\} e a \{\dots,-1,0\}. Logo não existe inteiro c com 0<c<1.
Portanto, para o par (a,b)=(0,1) a hipótese a<b é satisfeita, mas a conclusão "existe inteiro c com a<c<b" é falsa. Isso é um contraexemplo que invalida a afirmação universal.

Passo 6

Generalização da ideia do contraexemplo: sempre que a e b forem inteiros consecutivos (ou seja, b=a+1), não existe inteiro estritamente entre eles. Assim existem muitos pares (a,b) que violam a propriedade, não apenas o par (0,1).
Isso confirma que a afirmação dada é falsa, porque uma afirmação que diz “para todos os inteiros…” é falsificada por qualquer par de inteiros consecutivos.

Passo 7

Resumo e conclusão final: a tradução em linguagem natural e o valor-verdade da afirmação.

Resposta

Para quaisquer números inteiros a e b, se a é menor do que b, então existe um número inteiro c tal que c está estritamente entre a e b.\nFalso (contraexemplo: a=0, b=1; não existe inteiro c com 0<c<1).

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