Reescreva a EDO a seguir em EDOs de ordem 1.
Passo 1
O enunciado pede para reescrever a equação diferencial ordinária de terceira ordem abaixo como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem:
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A incógnita é a função
. - A equação é de ordem
(aparece ). - Há um parâmetro
(constante). - Aparece
, portanto a expressão só faz sentido para valores de positivos (ou seja, vamos precisar assumir no intervalo em que trabalharmos). - O termo do lado direito é
, ou seja, a equação é não-autônoma (depende explicitamente de ). - O objetivo é transformar essa EDO de ordem
em um sistema equivalente de três EDOs de ordem .
Passo 2
Idéia geral (de forma prática, sem jargões): para transformar uma EDO de ordem
em um sistema de ordem
a gente cria novas variáveis que representam
e suas derivadas até a ordem
. Assim cada derivada vira a derivada de uma nova variável, e a última equação vem de isolar a derivada de maior ordem na equação original. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Definimos novas variáveis que “empacotam”
e suas derivadas:
Explicando: cada
é uma função de
. A vantagem é que as derivadas dessas novas variáveis são simples de escrever:
Agora só falta escrever
usando a equação original.
Passo 4
Isolamos
na equação original. Partimos de
Subtraindo os demais termos do lado esquerdo:
Agora substituímos as definições das
:
,
,
. Assim obtemos
Passo 5
Reunindo tudo, o sistema de três equações de primeira ordem equivalente fica:
Observações importantes e dicas para a prova:
- Deve-se assumir
(ou seja, ) para que esteja bem definido. Se não houver essa garantia, mencione na resposta que a transformação exige . - Esse sistema é não-autônomo porque a função do lado direito depende explicitamente de
(por causa de e de ). - Se a questão pedir a forma vetorial, podemos escrever
e
- Sobre existência e unicidade: para aplicar o teorema de Picard-Lindelöf é preciso que
seja contínua em e Lipschitz em numa vizinhança do ponto inicial. Aqui é suave quando ; o problema aparece se se aproxima de (onde não é definido). Em uma prova, vale comentar rapidamente isso se for pedido.]