Reescreva a EDO a seguir em EDOs de ordem 1.
\text { 4. } d^{3} y / d t^{3}+\ln (y) \cdot\left(d^{2} y / d t^{2}\right)^{2}+t^{2} \cdot d y / d t+\beta \cdot y=\cos (t)

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a equação diferencial ordinária de terceira ordem abaixo como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem:
\frac{d^{3}y}{dt^{3}}+\ln(y)\cdot\left(\frac{d^{2}y}{dt^{2}}\right)^{2}+t^{2}\cdot\frac{dy}{dt}+\beta\cdot y=\cos(t)
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A incógnita é a função y=y(t).
  • A equação é de ordem 3 (aparece \frac{d^{3}y}{dt^{3}}).
  • Há um parâmetro \beta (constante).
  • Aparece \ln(y), portanto a expressão só faz sentido para valores de y positivos (ou seja, vamos precisar assumir y(t)>0 no intervalo em que trabalharmos).
  • O termo do lado direito é \cos(t), ou seja, a equação é não-autônoma (depende explicitamente de t).
  • O objetivo é transformar essa EDO de ordem 3 em um sistema equivalente de três EDOs de ordem 1.

Passo 2

Idéia geral (de forma prática, sem jargões): para transformar uma EDO de ordem n em um sistema de ordem 1 a gente cria novas variáveis que representam y e suas derivadas até a ordem n-1. Assim cada derivada vira a derivada de uma nova variável, e a última equação vem de isolar a derivada de maior ordem na equação original. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Definimos novas variáveis que “empacotam” y e suas derivadas:
x_{1}(t)=y(t),
x_{2}(t)=\frac{dy}{dt}(t),
x_{3}(t)=\frac{d^{2}y}{dt^{2}}(t).
Explicando: cada x_{i} é uma função de t. A vantagem é que as derivadas dessas novas variáveis são simples de escrever:
\frac{dx_{1}}{dt}=\frac{dy}{dt}=x_{2},
\frac{dx_{2}}{dt}=\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=x_{3}.
Agora só falta escrever \frac{dx_{3}}{dt}=\frac{d^{3}y}{dt^{3}} usando a equação original.

Passo 4

Isolamos \frac{d^{3}y}{dt^{3}} na equação original. Partimos de
\frac{d^{3}y}{dt^{3}}+\ln(y)\cdot\left(\frac{d^{2}y}{dt^{2}}\right)^{2}+t^{2}\cdot\frac{dy}{dt}+\beta\cdot y=\cos(t).
Subtraindo os demais termos do lado esquerdo:
\frac{d^{3}y}{dt^{3}}=\cos(t)-\ln(y)\cdot\left(\frac{d^{2}y}{dt^{2}}\right)^{2}-t^{2}\cdot\frac{dy}{dt}-\beta\cdot y.
Agora substituímos as definições das x_{i}: y=x_{1}, \frac{dy}{dt}=x_{2}, \frac{d^{2}y}{dt^{2}}=x_{3}. Assim obtemos
\frac{dx_{3}}{dt}=\cos(t)-\ln(x_{1})\cdot x_{3}^{2}-t^{2}\cdot x_{2}-\beta\cdot x_{1}.

Passo 5

Reunindo tudo, o sistema de três equações de primeira ordem equivalente fica:
\frac{dx_{1}}{dt}=x_{2},
\frac{dx_{2}}{dt}=x_{3},
\frac{dx_{3}}{dt}=\cos(t)-\ln(x_{1})\,x_{3}^{2}-t^{2}\,x_{2}-\beta\,x_{1}.
Observações importantes e dicas para a prova:
  • Deve-se assumir x_{1}(t)>0 (ou seja, y(t)>0) para que \ln(x_{1}) esteja bem definido. Se não houver essa garantia, mencione na resposta que a transformação exige y>0.
  • Esse sistema é não-autônomo porque a função do lado direito depende explicitamente de t (por causa de \cos(t) e de t^{2}).
  • Se a questão pedir a forma vetorial, podemos escrever X=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T} e
\frac{dX}{dt}=F(t,X)=\begin{pmatrix} x_{2}\\[6pt] x_{3}\\[6pt] \cos(t)-\ln(x_{1})\,x_{3}^{2}-t^{2}\,x_{2}-\beta\,x_{1} \end{pmatrix}.
  • Sobre existência e unicidade: para aplicar o teorema de Picard-Lindelöf é preciso que F(t,X) seja contínua em t e Lipschitz em X numa vizinhança do ponto inicial. Aqui F é suave quando x_{1}>0; o problema aparece se x_{1} se aproxima de 0 (onde \ln não é definido). Em uma prova, vale comentar rapidamente isso se for pedido.]

Resposta

\frac{dx_{1}}{dt}=x_{2}
\frac{dx_{2}}{dt}=x_{3}
\frac{dx_{3}}{dt}=\cos(t)-\ln(x_{1})\,x_{3}^{2}-t^{2}\,x_{2}-\beta\,x_{1}

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