Reescreva as frases abaixo usando desigualdades modulares.
e) Um radar indicou que o carro estava a 68 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, com um erro máximo de 5

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação:
  • O radar indicou que a velocidade do carro era 68\\ \mathrm{km/h}.
  • O erro máximo da indicação é 5 (ou seja, a velocidade real pode diferir até 5 unidades de \mathrm{km/h} do valor indicado).
O que é pedido:
  • Reescrever essa situação usando uma desigualdade modular (ou seja, uma desigualdade envolvendo valor absoluto) que capture todas as velocidades reais possíveis dadas essas informações.

Passo 2

Vamos chamar por uma variável a velocidade real do carro:
  • Seja v a velocidade real do carro, medida em \mathrm{km/h}.
Agora uma explicação do que significa valor absoluto de forma didática e concreta:
  • O valor absoluto |x| mede a “distância” de x até 0 na reta real. Por exemplo, |3|=3 e |-3|=3.
  • Mais geralmente, |x-a| mede a distância entre x e a na reta real. Dizer que a distância entre x e a é no máximo r é dizer |x-a|\le r.

Passo 3

Aplicando essa ideia ao problema:
  • O radar deu 68\\ \mathrm{km/h} e o erro máximo é 5. Isso significa que a distância entre a velocidade real v e 68 é no máximo 5.
  • Em linguagem de valor absoluto, isso se escreve como uma desigualdade modular (valor absoluto):
|v-68|\le 5.

Passo 4

É útil ver a forma equivalente em intervalo, para interpretar melhor:
  • A propriedade básica é: |x|\le a (com a\ge 0) é equivalente a -a\le x\le a.
  • Aplicando a x=v-68 e a=5, obtemos
-5\le v-68\le 5.
  • Somando 68 em todas as partes da desigualdade:
68-5\le v\le 68+5,
ou seja
63\le v\le 73.
Isso confirma que a velocidade real pode estar entre 63\\ \mathrm{km/h} e 73\\ \mathrm{km/h}.

Passo 5

Para fixar:
  • Se v=70 então |70-68|=2\le5, logo 70 está dentro do intervalo permitido.
  • Se v=74 então |74-68|=6>5, logo 74 não é compatível com a indicação do radar.
Força aí! Essa é a tradução direta desse tipo de problema: “medida ± erro” vira sempre |\text{valor real} - \text{medida}| \le \text{erro}.

Resposta

|v-68|\le 5

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