Resolva as desigualdades.
b) |x-4| \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
|x-4| \leq 0.
Informações dadas:
  • A incógnita é x (real).
  • A expressão dentro do valor absoluto é x-4.
  • A desigualdade compara o valor absoluto com 0.

Passo 2

Entender o que é valor absoluto é essencial. Para qualquer número real y\) vale: \[|y| = \begin{cases} y, & \text{se } y \ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y < 0. \end{cases}
Uma propriedade fundamental é que o valor absoluto é sempre não negativo:
|y| \ge 0 \quad\text{para todo } y\in\mathbb{R},
e ocorre igualdade (isto é, |y|=0\]) se, e somente se, \(y=0.]

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso caso: como para todo x temos |x-4| \ge 0, a única forma de satisfazer |x-4| \le 0 é que haja igualdade. Logo:
|x-4| \le 0 \quad\Longrightarrow\quad |x-4| = 0.

Passo 4

Resolver a equação resultante. Pelo que foi dito, |x-4|=0 acontece só se o argumento for zero:
x-4 = 0.
Resolvendo:
x = 4.

Passo 5

Verificação rápida: substituir x=4 na desigualdade original:
|4-4| = |0| = 0 \le 0,
que é verdadeiro. Portanto x=4 é solução.

Passo 6

Interpretação intuitiva (útil na prova): |x-4| é a distância entre x e 4 na reta real. Pedir que essa distância seja menor ou igual a 0 só é possível quando a distância é exatamente zero, isto é, quando x coincide com 4.

Passo 7

Dica geral para a prova:
  • Se tiver |\text{expr}| \le a com a<0: não há solução.
  • Se a=0: solução é \text{expr}=0.
  • Se a>0: transforma-se em uma dupla desigualdade do tipo -a \le \text{expr} \le a.
    Exemplo rápido: |x-4|\le 2 vira -2 \le x-4 \le 2, ou 2 \le x \le 6.

Resposta

\{4\}

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