Reescreva as frases abaixo usando equações modulares.
c) A casa de minha avó e a casa de meu tio estão a 5 km de distância.

Passo 1

O enunciado dá a informação: a casa da minha avó e a casa do meu tio estão a 5\\ \text{km} de distância.
A pergunta implícita é: reescrever essa frase usando uma equação modular (ou seja, uma equação com valor absoluto).
Informações relevantes que temos:
  • A distância entre as duas casas é 5\\ \text{km}.
  • Não foi dado um referencial, então podemos escolher variáveis para as posições.

Passo 2

Escolher variáveis e um referencial: seja x_{\text{avó}}ó a coordenada (em km) da casa da avó e x_{\text{tio}} a coordenada (em km) da casa do tio ao longo de uma reta (por exemplo, uma estrada). Essas coordenadas são números reais que indicam a posição em km num sistema de referência qualquer.

Passo 3

Tradução da ideia de “distância” em termos das coordenadas: a distância entre dois pontos numa reta é o valor absoluto da diferença entre suas coordenadas. Ou seja, a afirmação "a distância entre as casas é 5\\ \text{km}" vira a equação
\lvert x_{\text{avó}} - x_{\text{tio}}\rvert = 5\\ \text{km}.ó

Passo 4

Explicação do valor absoluto (o que é essa “equação modular”): para um número real qualquer u\) vale \[\lvert u\rvert = \begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -\,u, & \text{se } u<0. \end{cases}
Aplicando isso à nossa equação, \lvert x_{\text{avó}}-x_{\text{tio}}\rvert=5\] é equivalente a resolver as duas situações (casos): \[x_{\text{avó}}-x_{\text{tio}}=5 \quad\text{ou}\quad x_{\text{avó}}-x_{\text{tio}}=-5.\] Rearranjando cada caso para \(x_{\text{tio}}, obtemos
x_{\text{tio}}=x_{\text{avó}}-5 \quad\text{ou}\quad x_{\text{tio}}=x_{\text{avó}}+5.óó]

Passo 5

Interpretação prática (um exemplo): se escolhermos o referencial com a casa da avó em x_{\text{avó}}=0ó, as soluções ficam
x_{\text{tio}}= -5\\ \text{km}\quad\text{ou}\quad x_{\text{tio}}=+5\\ \text{km},
ou seja, o tio pode estar 5\\ \text{km} à direita ou 5\\ \text{km} à esquerda no eixo de coordenadas escolhido. Se, por exemplo, x_{\text{avó}}=10\\ \text{km}ó, então x_{\text{tio}}=5\\ \text{km} ou x_{\text{tio}}=15\\ \text{km}.

Passo 6

Dica para a prova: ao ver uma frase sobre “distância” entre duas posições na reta, escreva sempre como valor absoluto da diferença das coordenadas; depois, para resolver, abra o valor absoluto em dois casos. Mantém a coisa simples e segura.

Resposta

\lvert x_{\text{avó}}-x_{\text{tio}}\rvert=5\\ \text{km}ó
\;x_{\text{tio}}=x_{\text{avó}}\pm 5\\ \text{km}ó

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