Determine os pontos da reta real que estão a uma distância de \frac{3}{2} unidades de -1 .
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os pontos da reta real que estão a uma distância de \tfrac{3}{2} unidades do ponto -1.
Informações dadas:
O ponto fixo é -1.
A distância desejada é \tfrac{3}{2}.
O que se pede:
Encontrar todos os números reais x tais que a distância entre x e -1 seja \tfrac{3}{2}.
Passo 2
Conceito importante (distância na reta real): a distância entre dois pontos a\) e \(b\) na reta real é dada por \(|a-b|\). Aqui \(|\cdot|\) é o valor absoluto, que transforma um número em sua magnitude não negativa. Relembrando a definição do valor absoluto:
\[|y| = \begin{cases} y, & \text{se } y\ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y<0. \end{cases}
Exemplos rápidos para fixar: |3|=3\] e \(|-2|=2.]
Passo 3
Traduzir o enunciado em uma equação usando a definição de distância. Queremos todos x\in\mathbb{R} tais que a distância entre x e -1 seja \tfrac{3}{2}. Portanto:
|x-(-1)|=\tfrac{3}{2}.
Simplificando o interior do valor absoluto:
|x+1|=\tfrac{3}{2}.
Passo 4
Resolver a equação do tipo |u|=c com c\ge 0. Propriedade útil: |u|=c é equivalente ao sistema
u=c\quad\text{ou}\quad u=-c.
Isto acontece porque o valor absoluto de u é c quando u é exatamente c ou exatamente -c.
Aplicando aqui com u=x+1 e c=\tfrac{3}{2}, obtemos duas equações:
Ambos satisfazem a condição, logo são soluções válidas.
Passo 8
Interpretação geométrica rápida (para fixar): as soluções são os dois pontos na reta real que ficam uma à direita e outro à esquerda de -1, cada um a uma distância \tfrac{3}{2}. Numericamente, esses pontos são \tfrac{1}{2} (que é -1 + \tfrac{3}{2}) e -\tfrac{5}{2} (que é -1 - \tfrac{3}{2}). Você conseguiu — é sempre assim: duas soluções simétricas em torno do ponto dado.